数理逻辑 - 莱斯定理

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\[\newcommand{\lra}{\leftrightarrow} \newcommand{\tx}[1]{\text{#1}} \newcommand{\line}[2]{\ & #1 \quad & \rm{(#2)}\\} \newcommand{\linet}[2]{\ & #1 \quad & \rm{#2}\\} \newcommand{\fa}{\forall} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}} \newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\mK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\mN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\mM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\mA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\mB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\mC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\mD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\mL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\mR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\Ax}{{\bf Ax}} \newcommand{\ax}{\Lambda} \newcommand{\bl}{\begin{aligned}} \newcommand{\el}{\end{aligned}} \newcommand{\T}{\mathscr{T}} \newcommand{\t}{ {\bf t} } \newcommand{\f}{ {\bf f} } \newcommand{\L}[1]{L(#1)} \newcommand{\eq}{\equiv} \newcommand{\inp}{\leftarrow} \newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\wff}{{\bf Wff}} \newcommand{\so}{{\scr O}} \newcommand{\vd}{\vdash_{L(N)}} \newcommand{\ifff}{\ {\rm iff}\ } \newcommand{\thm}{\mathbf{Thm}} \newcommand{\mod}{\mathrm{Mod}\ } \newcommand{\momg}{{\mM_\omega}} \newcommand{\m}{\mM} \newcommand{\st}{{\mathrm{st}}} \]

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Thm(Rice). 对于 \(\frak P\) 的非平凡子集 \(\cal F\) , 集合 \(\mathbb A:=\{x\in\N:\{x\}\in\cal F\}\) 不是递归的.

we prove the theorem through the unsolvability of halting problem

注意到 \(\cal F\) 的补集也是非平凡的, 因此我们总是可以假定空函数 \(\empty\in\cal F\) , 如果不然我们可以讨论 \(\ov{\cal F}\) 的情形, 之后我们另取一部分递归函数 \(g\notin\cal F\) .

Lem 1. 函数 \(U:=\lambda ix.\{i\}(x)\) 是部分递归函数.

显然 \(U=\lambda ix.((\mu z)T^{(1)}(i,x,z))_0\) , 而 \(T^{(1)}\) 是原始递归谓词, 根据 \(\frak P\) 的定义可得 \(U\in\frak P\) .

Col 2. 函数 \(f:=\lambda xy.U(y,y)\cdot 0+g(x)\) 是部分递归函数.

之后我们关注构造出来的 \(f\) 的性质, 对于任意的输入 \(x,y\in\N\) , 如果 \(y\in K\) 则 \(f(x,y)=g(x)\) , 否则 \(f(x,y)\uparrow\) . 由于 \(f\in\frak P\) 故存在 \(i_0\in\Phi\) 使得 \(\{i_0\}=f\) , 于是由 I.8.52 对于任意的 \(x,y\in\N\) 均有

\[U(x,y)=\{i_0\}(x,y)=\{\sigma(i_0,y)\}(x) \]

于是对于 \(y\in\N\) , 假定 \(y\in K\) , 则对于任意输入 \(x\in \N\) 均有 \(\{\sigma(i_0,y)\}(x)=g(x)\) 从而 \(\{\sigma(i_0,y)\}=g\) ; 而另一方面假定 \(y\notin K\) , 则对于任意输入 \(x\in\N\) 有 \(\{\sigma(i_0,y)\}(x)\uparrow\) , 从而 \(\{\sigma(i_0,y)\}=\empty\) .

​ 接下来我们通过反证法来证明莱斯定理, 为导出矛盾, 假定 \(\mathbb A\) 是递归集, 那么它的特征函数 \(\chi_{\mathbb A}\) 是递归函数, 于是考虑构造递归函数

\[\varphi:=\lambda y.\chi_{\mathbb A}(\sigma(i_0,y)) \]

则对于任意 \(n\in\N\) , 如果 \(n\in K\) 则 \(\{\sigma(i_0,n)\}=g\notin\cal F\) 从而 \(\varphi(x)=1\) ; 另一方面如果 \(n\notin K\) 则 \(\{\sigma(i_0,n)\}=\empty\in\cal F\) 从而 \(\varphi(x)=0\) , 故递归函数 \(\varphi\) 是 \(\ov K\) 的特征函数, 故 \(K\) 也是递归集, 这与我们的结论矛盾了.