数理逻辑 - 一致性定理

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\[\newcommand{\lra}{\leftrightarrow} \newcommand{\tx}[1]{\text{#1}} \newcommand{\line}[2]{\ & #1 \quad & \rm{(#2)}\\} \newcommand{\linet}[2]{\ & #1 \quad & \rm{#2}\\} \newcommand{\fa}{\forall} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}} \newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\K}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ax}{{\bf Ax}} \newcommand{\ax}{\Lambda} \newcommand{\bl}{\begin{aligned}} \newcommand{\el}{\end{aligned}} \newcommand{\T}{\mathscr{T}} \newcommand{\t}{ {\bf t} } \newcommand{\f}{ {\bf f} } \newcommand{\L}[1]{L(#1)} \newcommand{\eq}{\equiv} \newcommand{\inp}{\leftarrow} \newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\wff}{{\bf Wff}} \newcommand{\so}{{\scr O}} \newcommand{\vd}{\vdash_{L(N)}} \]

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Thm(Consistency). 如果语言 \(L\) 上的公式集 \(\Gamma\) 是一致的, 那么存在模型满足 \(\Gamma\) .

we prove the theorem in the case that the language \(L\) is countable

考虑构造一个 \(L\) 上的结构使之满足公式集 \(\Gamma\) . 我们首先扩充语言得到 \(L(\N)\) 并且固定两个遍历 \(L(\N)\) 中全部语句的序列 \(\la{\A_i:i\in\N},\la{\B_i:i\in\N}\) 并且他们分别满足：

• 对于任意 \(i,j\in\N\) 存在 \(k>j\) 使得 \(\A_i=\A_k\) , 对 \(\la{\B_i}\) 我们也作类似的要求,
• 对于任意 \(i\in\N\) , 语句 \(\B_i\) 具有 \(\ex x\C\) 的形式, 其中 \(\C\) 是 \(L\) 上的公式.

之后我们如是构造两个 \(L(\N)\) 上的公式集合的序列 \(\la{\Gamma_i:i\in\N},\la{\Delta_i:i\in\N}\) , 首先令 \(\Gamma_0:=\Gamma\)

\[\Delta_k:= \left\{ \begin{aligned} &\Gamma_k & \Gamma_k\vdash_{\L\N}\neg\A_k\\ &\Gamma_k+\A_k & {\rm otherwise} \end{aligned} \right. \]

\[\Gamma_{k+1}:= \left\{ \begin{aligned} &\Delta_k+\C[x\inp\ov i_k]& \Delta_k\vdash_{\L\N}\B_{k}\,,\B_k\eq\ex x\C\\ &\Delta_k & {\rm otherwise} \end{aligned} \right. \]

其中常元 \(\ov i_k\) 是最小的那个 \(j\in\N\) 满足 \(\ov j\) 不在 \(\A_0,\A_1...\A_k,\B_0,\B_1...\B_k\) 中出现的所对应的在 \(L(\N)\) 中新引入的那个常数符号. 之后我们令 \(L(\N)\) 上的公式集

\[\Gamma_\omega:=\bigcup_{k\in\N}\Gamma_k \]

Lem 1. \(\Gamma_\omega\) 是 \(L(\N)\)​ 上的一致公式集.

若不然, 存在 \(L(\N)\) 上的公式 \(\D\) 使得 \(\Gamma_\omega\vdash_{L(\N)}\D,\neg\D\) , 由于推理是有穷的, 故存在 \(\Gamma_\omega\) 的有穷子集 \(\Gamma'\) 使得 \(\Gamma'\vdash_{L(\N)}\D,\neg\D\), 从而存在某个 \(n\in\N\) 使得 \(\Gamma_n\) 不一致（在 \(L(\N)\) 中）. 接下来利用归纳法来证明我们证明对于 \(k\in\N\) 均有 \(\Gamma_k\) 是一致的.

​ 首先验证 \(\Gamma_0\) , 即\(\Gamma\) , 若不一致, 则存在 \(\L\N\) 上的公式 \(\G\) 使得 \(\Gamma\vdash_{\L\N}\G,\neg\G\) , 由于 \(\L\N\) 只是在 \(L\) 中添加了常数符号，所以存在 \(L\) 上的公式 \(\E[x_1...x_m]\) 使得 \(\E[e_1...e_m]\eq\G\) 其中 \(e_1...e_m\) 是新添加的常数符号, 而 \(\Gamma\vdash_{\L\N}\G,\neg\G\) 即为 \(\Gamma\vdash_{\L\N}\E[e_1...e_m],\neg\E[e_1...e_m]\) , 由 I.4.15 , 可取一组没出现过的变元 \(z_1...z_m\) 使得 \(\Gamma\vdash_L\E[z_1...z_m]\) 且 \(\Gamma\vdash_L\neg\E[z_1...z_m]\) 从而 \(\Gamma\) 不是 \(L\) 上一致的, 与假设矛盾.

​ 之后对于 \(k\in\N\) , 由 I.H. 可以轻易得出 \(\Delta_k\) 是一致的 , 假如 \(\Gamma_{k+1}\) 不一致, 那么一定是 \(\Delta_k\vdash_{\L\N}\B_k\) 并且 \(\Gamma_{k+1}=\Delta_k+\C[x\inp \ov i]\) 这种情形, 因此存在某个 \(\L\N\) 上的公式 \(\H\) 使得 \(\Delta_k+\C[x\inp\ov i]\vdash_{\L\N}\H,\neg\H\) , 又由于 \(\Delta_k\vdash_{\L\N}\ex x\C\) 并且 \(\C[x\inp\ov i]\) 是语句, 即没有自由变元, 故由 I.4.27 可得 \(\Delta_k\vdash_{\L\N}\H,\neg\H\) , 矛盾.

Lem 2. \(\Gamma_\omega\) 是 \(\L\N\) 上完全的.

对于任意 \(\L\N\) 上的语句 \(\C\) , 根据我们的构造, 存在 \(n\in\N\) 使得 \(\A_n\eq\C\) , 于是假设 \(\Gamma_n\vdash_{\L\N}\neg\C\) , 那么由于 \(\Gamma_n\subseteq\Gamma_\omega\) 所以 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\neg\C\) ; 而另一方面如果 \(\Gamma_n\not\vdash_{\L\N}\neg\C\) , 那么 \(\C\in\Delta_k\) , 而由于 \(\Delta_k\subseteq\Gamma_\omega\) 故 \(\C\in\Gamma_\omega\)​ .

​ 之后我们构造一个 \(\N\) 上的关系

\[\sim:=\{(n,m)\in\N\times\N:\Gamma_\omega \vdash_{\L\N}\ov n=\ov m\} \]

由 I.16 , I.17 可得 \(\sim\) 是一个等价关系, 之后可以在这个关系的基础上构造出一个 \(\N\) 上的函数

\[\bl {\scr O}:&\N\to\N\\ &x\mapsto \min\{y:x\sim y\} \el \]

根据这个构造我们可以得到对于全体 \(n\in\N\) 有 \(n\sim \so(n)\) , 之后萃取 \(\N\) 的子集

\[N:=\so[\N] \]

并扩充语言得到 \(L(N)\) , 之后对于每个 \(\L\N\) 中的公式 \(\C\) , 将公式中所有形如 \(\ov i,i\in\N\) 的项都对应地替换为 \(\ov{\so(i)}\) 所得到的公式记为 \(\C^N\) , 那么显然 \(\C^N\) 是 \(\L N\) 上的公式. 于是我们可以导出一个 \(\L N\) 上的公式集

\[\Gamma_*:=\{\C^N:\C\in\Gamma_\omega\} \]

之后我们可以得到如下的 \(\L\N\) 中的公式与 \(\L N\) 中的公式的关系

Lem 3. 对于 \(\L\N\) 上的公式 \(\C\) , \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\C\) 当且仅当 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\C^N\) .

(\(\inp\)) 由于 \(\L N\) 是 \(\L\N\) 的子语言, 所以 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\C^N\) 蕴涵 \(\Gamma_*\vdash_{\L\N}\C^N\) , 而根据 I.18 可得, 对于任意的 \(\L\N\) 上的公式 \(\I\) 均有 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\I\lra\I^M\) , 从而对于任意 \(\G\in\Gamma_*\) , 根据定义存在 \(\H\in\Gamma_\omega\) 使得 \(\G\eq\H^N\) , 并且 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N} \H\lra\H^N\) , 故 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\G\) , 从而必定有 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\C^N\) .

​ (\(\to\)) 通过对\(\L\N\) 上的 \(\Gamma_\omega\) 的证明序列施以归纳来证明.

​ 当 \(\C\in\ax_{\L\N}\) 时, \(\C^N\in\ax_{\L N}\) ; 当 \(\C\in\Gamma_\omega\) 时, 根据定义有 \(\C^M\in\Gamma_*\) .

​ (MP) 如果 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N} \D\to\C,\D\) , 那么根据 I.H. 有 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\D^N\to\C^N,\D^N\) , 因此有 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\C^N\) .

​ (\(\ex\)-introduction) 假定 \(\C\eq\ex x\D\to\E\) 并且 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\D\to\E\) , 其中 \(x\) 不在 \(\E\) 中自由出现, 则根据 I.H. 有 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\D^N\to\E^N\) 并且根据 \(\E^N\) 定义, 变元符号 \(x\) 也不在 \(\E^N\) 中出现, 故\(\Gamma_*\vdash_{\L N}\ex x\D^N\to\E^N\) , 即 \(\C^N\) .

并且我们可以接着得到如下的关于公式集 \(\Gamma_*\) 的一些结果

Col 4. \(\Gamma_*\) 是 \(\L N\) 上的一致公式集.

若不然, 则存在 \(\L N\) 上的公式 \(\C\) 使得 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\C,\neg\C\) , 由于 \(\L N\) 是 \(\L\N\) 的子语言, \(\C\) 也是 \(\L\N\) 上的公式, 并且 \(\C^N\eq\C\) , 从而由 Lem 3 可得 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\C,\neg\C\) , 故 \(\Gamma_\omega\) 不一致, 与先前的结果矛盾.

Col 5. \(\Gamma_*\) 是 \(\L N\)​ 上完全的.

对于任意 \(\L N\) 上的语句 \(\C\) , 显然它也是 \(\L\N\) 上的, 并且 \(\C^N\eq\C\), 由于 \(\Gamma_\omega\) 可以在 \(\L\N\) 上判定 \(\C\) , 因此由 Lem 3 , \(\Gamma_*\) 可以在 \(\L N\) 上判定 \(\C^N\) , 也就是 \(\C\) 本身.

Lem 6. \(\Gamma_*\) 具有 \(\L N\)​ 上的 witness property.

对于任意 \(\L N\) 上形如 \(\ex x\C\) 的语句 \(\D\) , 首先 \(\D\) 也是 \(\L\N\) 上的语句, 并且有 \(\D^N\eq\D\) , 假如 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\D\) , 则 \(\Gamma_\omega\vdash_{\L\N}\D\) , 则根据对 \(\Gamma_\omega\) 与语句序列 \(\la{\B_i}\) 的构造, 存在 \(n\in\N\) 使得 \(\Delta_n\vdash_{\L\N}\D\) 且 \(\B_n\eq\D\) , 从而存在某个 \(i\in\N\) 使得 \(\C[x\inp\ov i]\in\Gamma_\omega\) , 故 \(\C[x\inp\ov{\so(i)}]\in\Gamma_*\) .

​ 借助这些结果我们可以构造出一个 \(L\) 上的结构 \(M:=(N,\T)\) , 我们主要描述 \(\T\) 的组成部分,

• 对于 \(L\) 上的 \(k\) 元谓词符号 \(P\) , 定义它在 \(M\) 中的对应如下

  \[P^M:=\{\la{i_1...i_k}\in N^k:\Gamma_*\vdash_{\L N}P(\ov{i_1}...\ov{i_k})\} \]

• 对于 \(L\) 上的 \(k\) 元函数符号 \(f\) , 首先显然有, 对于任意的 \(\la{i_1...i_k}\in N^k\) 均有 \(\vdash_{\L N}(\ex x)x=f(\ov{i_1}...\ov{i_k})\) , 由 Lem 6 可知存在某个 \(j\in N\) 使得 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\ov j=f({\ov{i_1}...\ov{i_k}})\) , 并且根据我们对 \(\so\) 与 \(N\) 的构造这个 \(j\) 是唯一的, 于是这就导出了 \(f\) 在 \(M\) 中的对应

  \[f^M:=\{\la{i_1...i_k,j}\in N^{k+1}:\Gamma_*\vdash_{\L N}\ov j=f(\ov{i_1}...\ov{i_k})\} \]

• 对于 \(L\) 上的常数符号 \(c\) , 同理函数符号的情形可得存在唯一 \(c'\in N\) 使得 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}c=\ov{c'}\) , 于是 \(c\) 在 \(M\) 中的对应

  \[c^M:=c' \]

之后我们将 \(\T\) 拓充到新引入的常数符号上, 并考虑证明如下的一个结论.

Lem 7. 对于 \(\L N\) 上的任意闭项 \(t\) 均有 \(\Gamma_*\vdash_{\L N} t=\ov{t^{M}}\) .

通过对项 \(t\) 施以归纳来证明.

​ 当 \(t\) 是 \(L\) 中的常数符号或者新引入的常数符号时, 根据我们对 \(M\) 的构造结论成立.

​ 当 \(t\eq f(t_1...t_k)\) 时, 根据递归定义, \(t^M=f^M(t_1^M...t_k^M)\) , 根据我们对 \(M'\) 的构造, \(f^{M}(t_1^{M}...t_k^{M})\) 是那个唯一的 \(s\in N\) 使得 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\ov s=f(\ov{t_1^M}...\ov{t_k^M})\) 即 \(s=t^M\) , 从而 \(\ov s\eq \ov{t^M}\), 由 I.H. 对于 \(i=1,2,...k\) 均有 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}t_i=\ov{t_i^M}\) , 从而根据 I.18 有 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\ov s=f(t_1...t_k)\) 即 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\ov s=t\) .

之后可以得到主引理.

Lem(Main). 对于 \(\L N\) 上语句 \(\C\) 均有: \(\C^M=\t\) 当且仅当 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\C\) .

我们对语句 \(\C\) 施以归纳.

​ 当 \(\C\) 是原子公式时, 如果 \(\C\eq P(t_1...t_k)\) , 则 \(\C^M=\t\) 当且仅当 \(\la{t_1^M...t_k^M}\in P^M\) , 根据对 \(M\) 的构造, 它等价于 \(\Gamma_*\vdash_{\L N} P(\ov{t_1^M}...\ov{t_k^M})\) , 再由 Lem 7 以及 I.18 可得 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}P(\ov{t_1^M}...\ov{t_k^M})\lra P(t_1...t_k)\) , 从而 \(\Gamma_*\vdash_{\L N} P(\ov{t_1^M}...\ov{t_k^M})\) 当且仅当 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}P(t_1...t_k)\) 即 \(\C\) ; 如果 \(\C\eq t_1=t_2\) , 则 \(\C^M=\t\) 当且仅当 \(t_1^M=t_2^M\) , 由 \(\Ax.3\) 得 \(\vdash_{\L N}\ov{t_1^M}=\ov{t_2^M}\) , 从而再由 Lem 7 以及 I.19 可得 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}t_1=t_2\) , 而另一方面若 \(t_1^M\not=t_2^M\) , 则根据我们对 \(N\) 的构造可知 \(\Gamma_*\not\vdash_{\L N}\ov{t_1^M}=\ov{t_2^M}\) , 从而不可能有 \(\Gamma_*\vdash t_1=t_2\) , 不然由 Lem 7 以及 I.19 可以推出 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\ov{t_1^M}=\ov{t_2^M}\) .

​ 对于逻辑连词的情况, 如果 \(\C\eq\neg\D\) , 则 \(\C^M=\t\) 当且仅当 \(\D^M=\f\) , 根据 I.H. 这等价于 \(\Gamma_*\not\vdash_{\L{N}}\D\) , 而由于 \(\Gamma_*\) 是完全的故 \(\Gamma_*\vdash_{\L N}\neg\D\) , 也就是 \(\C\) ; 如果 \(\C\eq\D\or\E\) , 则 \(\C^M=\t\) 当且仅当 \(\D^M=\t\) 或者 \(\E^M=\t\) , 这根据 I.H. 这等价于 \(\Gamma_*\vd\D\) 或者 \(\Gamma_*\vd\E\) , 而 \(\vd\D\to\D\or\E,\E\to\D\or\E\) , 因此 \(\C^M=\t\) 蕴涵 \(\Gamma_*\vd\D\or\E\) , 即 \(\Gamma_*\vd\C\) , 另一方面如果 \(\Gamma_*\not\vd\D,\E\) 则根据完全性有 \(\Gamma_*\vd\neg\D,\neg\E\) 从而有 \(\Gamma_*\vd\neg\D\and\neg\E\) 从而 \(\Gamma_*\vd\neg\C\) , 而由一致性可得 \(\Gamma_*\not\vd\C\) .

​ 对于量词的情况, 假设 \(\C\eq\ex x\D\) , 则 \(\C^M=\t\) 当且仅当存在 \(i\in N\) 使得 \((\D[x\inp\ov i])^M=\t\) , 根据 I.H. 这等价于 \(\Gamma_*\vd\D[x\inp\ov i]\) , 如果 \(\C^M=\t\) 则取出这样的 \(i\) 并得到 \(\Gamma_*\vd\D[x\inp\ov i]\) 之后再由 \(\Ax.2\) 可得 \(\Gamma_*\vd\ex x\D\) , 而另一方面如果 \(\Gamma_*\vd\ex x\D\) 则由 witness property 可知这样的 \(i\) 存在, 所以 \(\C^M=\t\) .

​ 最后我们来验证 \(M\vDash_L\Gamma\) . 对于任意的 \(\C\in\Gamma\) , 由于 \(\C\) 是 \(L\) 上的公式故 \(\C^N\eq\C\) , 又因为 \(\Gamma\subseteq\Gamma_\omega\) 故 \(\C\in\Gamma_\omega\) 从而 \(\C\in\Gamma_*\) , 而对于 \(\C\) 的任意 \(M\)-instance \(\C'\) , 由 I.4.12 可得 \(\Gamma_*\vd\C'\) , 又由于 \(\C'\) 是 \(\L N\) 上的语句所以 \(\C'^M=\t\) , 因此有 \(M\vDash_L\C\) .