数理逻辑章习题 1 - 6

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\[\newcommand{\lra}{\leftrightarrow} \newcommand{\tx}[1]{\text{#1}} \newcommand{\line}[2]{\ & #1 \quad & \rm{(#2)}\\} \newcommand{\linet}[2]{\ & #1 \quad & \rm{#2}\\} \newcommand{\fa}{\forall} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}} \newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\mK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\mN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\mM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\mA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\mB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\mC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\mD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\mL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\mR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\Ax}{{\bf Ax}} \newcommand{\ax}{\Lambda} \newcommand{\bl}{\begin{aligned}} \newcommand{\el}{\end{aligned}} \newcommand{\T}{\mathscr{T}} \newcommand{\t}{ {\bf t} } \newcommand{\f}{ {\bf f} } \newcommand{\L}[1]{L(#1)} \newcommand{\eq}{\equiv} \newcommand{\inp}{\leftarrow} \newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\wff}{{\bf Wff}} \newcommand{\so}{{\scr O}} \newcommand{\vd}{\vdash_{L(N)}} \newcommand{\ifff}{\ {\rm iff}\ } \newcommand{\thm}{\mathbf{Thm}} \newcommand{\mod}{\mathrm{Mod}\ } \newcommand{\momg}{{\mM_\omega}} \newcommand{\m}{\mM} \newcommand{\st}{{\mathrm{st}}} \]

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I.47

我们只需要做一些检验性的工作即可. 对于常数变元, 条件天然成立; 对于函数符号 \(f\) 以及 \(\vec i_n\in|\mM|\) , 由于对于任何 \(\vec j_n\in|\mK|\) 均有 \(f^\mK(\vec j_n)=\phi(f^\mM(\phi^{-1}(j^n)))\) 并且 \(\phi\) 是双射, 故存在唯一 \(\vec i_n'\in|\mK|\) 使得 \(\phi^{-1}(\vec i_n')=\vec i_n\) , 将其代入 \(\vec j_n\) 即可得到 \(f^\mK(\phi(\vec i_n))=\phi(f^\mM(\vec i_n))\) ; 对于谓词符号 \(P\) 也是同理.

I.48

令 \(\chi:=\psi\circ\phi\) , 那么对于任意常数符号 \(c\) 有 \(c^\mK=\phi(c^\mM),c^\mL=\psi(c^\mK)\) 从而有 \(c^\mL=\psi(\phi(c^\mM))=\chi(c^\mM)\) ; 对于任意函数符号 \(f\) 以及 \(\vec i\in|\mM|\) 有 \(f^\mK(\phi(\vec i))=\phi(f^\mM(\vec i))\) 从而有 \(f^\mL(\psi(\phi(\vec i)))=\psi(f^\mK(\phi(\vec i)))=\psi(\phi(f^\mM(\vec i)))\) , 即 \(f^\mL(\chi(\vec i))=\chi(f^\mM(\vec i))\) ; 对于任意谓词符号 \(P\) 以及 \(\vec i\in|\mM|\) 均有 \(\psi(\phi(\vec i))\in P^\mL\) 当且仅当 \(\phi(\vec i)\in P^\mK\) 当且仅当 \(\vec i\in P^\mM\) , 即 \(\chi(\vec i)\in P^\mL\) 当且仅当 \(\vec i\in P^\mM\) . 从而嵌入的复合 \(\chi\)​ 仍然是结构的嵌入.

I.49

这种情况的存在是很广泛的, 设语言 \(L\) 及其上的无穷模型 \(\mA\) , 令基数 \(\mathfrak n:=2^{\max\{|\mA|,|L|\}}\) 则显然有 \(\mathfrak n >|\mA|\) , 由 I.6.24 可知存在模型 \(\mA'\) 使得 \(|\mA'|=\frak n\) 并且 \(\mA\prec\mA'\) , 然而事实上他们两个模型之间不存在双射, 因为它们的基数不同, 因此他们必然不同构.

I.50

假设 \(L\) 上的公式 \(\A(\vec x_n)\) 在 \(\mM\) 上定义了集合 \(S\) , 那么有对于任意 \(i\in|\mM|^n\) 有

\[i\in S \iff \A[\vec x_n\inp \ov i]^\mM=\t \]

而由于 \(\phi\) 是 \(\mM\) 到 \(\mM\) 的同构, 所以由 I.6.8 \(\A[\vec x_n\inp\ov i]^\mM=\t\iff \A[\vec x_n\inp\ov{\phi(i)}]^\mM=\t\) , 这即是 \(\phi(i)\in S\) .

I.51

若 \(\N\) 是可定义的, 那么我们考虑一个函数

\[\bl \phi:&\R\to\R\\ &x\mapsto x+0.5 \el \]

显然它是结构 \((\R,<)\) 上的自同构, 而显然对于 \(n\in\N\) 一定有 \(\phi(n)\not\in\N\) , 这与 I.50 矛盾了.

I.52

证明的策略是构造一个 \(\N\to\N\) 的双射 \(f\) , 它满足对于任意 \(x,y\in\N\) 均有 \(f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)\) 并且存在 \(a,b\in\N\) 使得 \(f(a+b)\not=f(a)+f(b)\) , 前者激励我们在积性函数中寻找答案, 事实上由素数分解定理, 对于每个 \(n\in\N\) 均可以将其分解成如下的形式, 并且该形式唯一

\[n=\prod_{i=1}^n p_i^{a_i} \]

其中 \(p_i\) 是从小往大数的第 \(i\) 个质数, 于时我们考虑如下构造我们的 \(f\)

\[\bl f:\prod_{i=1}^np_i^{a_i}\mapsto p_1^{a_2}\cdot p_2^{a_1}\cdot\prod_{i=3}^np_i^{a_i} \el \]

实际上就是交换数字 \(n\) 的 \(2,3\) 这两个质因数上的幂次而已, 而我们可以验证这样的函数 \(f\) 是完全积性函数并且还是双射, 因此 \(f\) 可以导出一个 \((\N,\cdot)\) 上的自同构, 然而事实上我们有 \(f(2+4)=6\) 而 \(f(2)+f(4)=3+6=9\) , 从而加法的图在 \((\N,\cdot)\) 内不可定义.

I.53

设 \(L\) 上的理论 \(\cal T\) 被开公式集 \(\Gamma\) 公理化, 即 \(\mathcal{T}=\thm_\Gamma\) , 则由完全性定理 \(\mod{\cal T}=\mod\Gamma\) , 则我们只需要证明, 对于开公式集 \(\Gamma\) 以及 \(L\) 上的模型 \(\mA,\mB\) , 如果 \(\mA\vDash\Gamma\) 并且 \(\mB\subseteq\mA\) , 那么 \(\mB\vDash\Gamma\) . 我们考虑对公式施以归纳来证明如下的引理

Lem 1. 固定模型 \(\mB\subseteq\mA\) , 则对于任何 \(L\) 上的开公式 \(\A(\vec x_n)\) 以及 \(i\in|\mB|^n\) 均有 \(\A[\ov i]^\mA=\t\iff\A[\ov i]^\mB=\t\) .

首先当 \(\A\) 是原子公式的时候, 假定 \(\A\eq P(t_1...t_k)\) , 对于任意的 \(j\in|\mB|\) , 由于 \(\mB\subseteq\mA\) 故 \(j\in|\mA|\) , 于是 \(\A[\ov j]^\mA=\t\) 等价于 \(\la{t_1(\ov j)^\mA...t_k(\ov j)^\mA}\in P^\mA\) , 而再一次由于 \(\mB\subseteq\mA\) , 故对于 \(1\le i\le k\) 有 \(t_i(\ov j)^\mA=t_i(\ov j)^\mB\in|\mB|\) , 从而 \(\la{t_1(\ov j)^\mA...t_k(\ov j)^\mA}\in P^\mA\) 实际上就是 \(\la{t_1(\ov j)^\mA...t_k(\ov j)^\mA}\in P^\mA|_{|\mB|}\) , 即 \(\la{t_1(\ov j)^\mB...t_k(\ov j)^\mB}\in P^\mB\) , 也就是 \(\A[\ov j]^\mB=\t\) ; 等词的情况同理.

​ 之后考虑归纳情形, 如果 \(\A\eq\neg\B\) , 则对于 \(i\in|\mB|^n\) , 根据定义 \(\A[\ov i]^\mA=\t\) 等价于 \(\B[\ov i]^\mA=\f\) , 由 I.H. 这等价于 \(\B[\ov i]^\mB=\f\) , 等价于 \(\A[\ov i]^\mA=\t\) ; 如果 \(\A\eq\B\or\C\) , 则对于 \(i\in|\mB|^n\) , \(\A[\ov i]^\mA=\t\) 等价于 \(\B[\ov i]^\mA=\t\) 或者 \(\C[\ov i]^\mA=\t\) , 这等价于 \(\B[\ov i]^\mB=\t\) 或者 \(\C[\ov i]^\mB=\t\) , 即 \(\A[\ov i]^\mB=\t\) .

​ 而对于 \(\A\in\Gamma\) , 如果 \(\mA\vDash\A\) , 则对于任意的 \(i\in|\mB|^n\) , 由于 \(\mB\subseteq\mA\) 故 \(i\in|\mA|^n\) , 从而有 \(\A[\ov i]^\mA=\t\) , 由于 \(\A\) 是开公式, 故根据上面的结果有 \(\A[\ov i]^\mB=\t\) 从而 \(\mB\vDash\A\)​ .

I.54

令

\[\mM_\omega:=\bigcup_{i\in\N}\mM_i \]

首先我们检验对于 \(i\in\N\) 均有 \(\mM_i\subseteq\mM_\omega\) , 这是平凡的, 因为对于 \(L\) 上的谓词符号 \(P\) 以及函数符号 \(f\) 均有

\[P^{\mM_\omega}=\bigcup_{i\in\N}P^{\mM_i};f^{\mM_\omega}=\bigcup_{i\in\N}f^{\mM_i}. \]

从而 \(P^{\mM_i}=P^{\mM_\omega}|_{|\mM_i|},f^{\mM_i}=f^{\mM_\omega}|_{|\mM_i|}\) , 而对于常数符号的解释也是在 \(\mM_0\) 就确定并一直不变的, 所以我们有 \(\mM_i\subseteq\mM_\omega\) .

​ 之后我们我们来验证 \(\mM_i\prec\mM_\omega\) , 证明的策略是对 \(L\) 上的公式 \(\A\) 施以归纳 . 于是首先我们需要验证一个引理

Lem 1. \(\mA,\mB,\mC\) 是语言 \(L\) 的模型并且 \(\phi:\mA\to_{\prec}\mB,\psi:\mB\to_{\prec}\mC\) , 则 \(\psi\circ\phi\) 是 \(\mA\to\mC\) 的初等嵌入.

对于 \(L\) 上的公式 \(\A(\vec x_n)\) 以及 \(i\in|\mA|^n\) , 由 \(\phi:\mA\to_{\prec}\mB\) 可得 \(\A[\ov i]^\mA=\t\iff \A[\ov{\phi(i)}]^\mB=\t\) , 同时由于 \(\phi(i)\in|\mB|^n\) , 故再由 \(\psi:\mB\to_\prec\mC\) 可得 \(\A[\ov{\phi(i)}]^\mB=\t\iff \A[\ov{\psi(\phi(i))}]^\mC=\t\) , 从而有 \(\A[\ov i]^\mA=\t\iff\A[\ov{\psi\circ\phi(i)}]^\mC=\t\) , 故 \(\psi\circ\phi\) 是一个初等嵌入.

接下来我们对于 \(L\) 上的公式 \(\A(\vec x_n)\) 施以归纳来证明对于任意的 \(i\in\N\) 以及 \(j\in|\mM_i|^n\) 有 \(\A[\ov j]^{\mM_i}=\t\iff\A[\ov j]^{\mM_\omega}=\t\) ,

​ 如果 \(\A\) 是原子公式, 则由于 \(\mM_i\subseteq\mM_\omega\) 以及 I.6.23 可得, 对于任意 \(j\in|\mM_i|^n\) 有 \(\A[\ov j]^{\mM_i}=\t\iff\A[\ov j]^{\mM_\omega}=\t\) .

​ 如果 \(\A\) 是经由逻辑联词得到的, 假设 \(\A\eq\neg\B\) , 则对于 \(j\in|\mM_i|^n\) 有 \(\A[\ov j]^{\mM_i}=\t\iff \B[\ov j]^{\mM_i}=\f\) , 根据 I.H. 后者等价于 \(\B[\ov j]^{\mM_\omega}=\f\) 亦即 \(\A[\ov j]^{\mM_\omega}=\t\) ; 对于 \(\A\eq\B\or\C\) 的情况, 同理经由 I.H. 可以平凡的验证这一结果.

​ 如果 \(\A\eq\ex y\B(y,\vec x_n)\) , 那么对于 \(j\in|\mM_i|^n\) , \(\A[\ov j]^{\mM_\omega}=\t\) 当且仅当存在 \(k\in|\mM_\omega|\) 使得 \(\B[\ov k,\ov j]^{\mM_\omega}=\t\) . 根据我们对 \(\mM_\omega\) 的构造, 存在充分大的 \(l\in\N\) 使得 \(k\in|\mM_l|\) , 而根据 I.H. 有 \(\B[\ov k,\ov j]^{\mM_\omega}=\t\iff\B[\ov k,\ov j]^{\mM_l}=\t\) , 这就是在说: \(\A[\ov j]^{\mM_\omega}=\t\) 当且仅当"存在 \(l\in\N\) 以及 \(k\in|\mM_l|\) 使得 \(\B[\ov k,\ov j]^{\mM_l}=\t\) ", 即 \(\A[\ov j]^{\mM_l}=\t\). 而根据 Lem 1 可得 \(\mM_i\prec\mM_l\) , 从而 \(\A[\ov j]^{\mM_l}=\t\iff\A[\ov j]^{\mM_i}=\t\) .

I.55

假定 \(L\) 上的理论 \(\scr S\) 是被 \(\Gamma\) 公理化, 并且 \(\Gamma\) 是归纳的, 并假定一个的 \(L\) 上的模型链 \(\la{\mM_i:i\in\N}\) 满足

\[\mM_0\subseteq\mM_1\subseteq...\subseteq\mM_n\subseteq... \]

并且每个 \(\mM_i\) 都是 \(\Gamma\) 的模型, 那么只需要验证

\[\mM_\omega:=\bigcup_{k\in\N}\mM_k \]

是 \(\Gamma\) 的模型即可, 即对于任意 \(\D\in\Gamma\) 均有 \(\mM_\omega\vDash\D\) . 在此之前可以先验证对于 \(i\in\N\) 均有 \(\mM_i\subseteq\mM_\omega\) , 之后根据 \(\mM_\omega\) 的构造, 任意 \(j\in|\mM_\omega|^n\) , 存在充分大的 \(k\in\N\) 使得 \(j\in|\mM_k|^n\) , 在此前提下我们可以证明以下的一个结论,

Lem 1. 设语言 \(L\) 上的两个模型 \(\mA,\mB\) 满足 \(\mA\subseteq\mB\) , 则对于任意形如 \(\B(\vec x_n)\eq\ex\vec y_m\A(\vec x_n,\vec y_m)\) 的公式(其中 \(\A\) 为开公式)以及 \(i\in|\mA|^n\) , 如果 \(\B[\ov i]^\mA=\t\) , 那么 \(\B[\ov i]^\mB=\t\) .

我们对存在量词前缀的长度 \(m\) 施以归纳来证明.

​ 对于 \(m=0\) 的情形, 即 \(\B\) 本身就是开公式, 那么由 I.53 的 Lem 1 可知结论成立.

​ 对于归纳情形, 假定 \(\B(\vec x_n)\eq\ex z\C(\vec x_n,z)\) , 若 \(\B[\ov i]^\mA=\t\) 则存在 \(j\in|\mA|\) 使得 \(\C[\ov i,\ov j]^\mA=\t\) , 根据 I.H. \(\C[\ov i,\ov j]^\mB=\t\) , 从而 \(\B[\ov i]^\mB=\t\) .

​ 对于任意 \(\A(\vec x_n)\in\Gamma\) , 对于任意的 \(i\in|\mM_\omega|^n\) , 根据我们对于 \(\momg\) 的构造, 存在充分大的 \(k\in\N\) 使得 \(i\in|\m_k|\) , 而根据前提每个 \(\m_k\) 均为 \(\Gamma\) 的模型故 \(\m_k\vDash\A\) , 即 \(\A[\ov i]^{\m_k}=\t\) , 又因为 \(\m_k\subseteq\momg\) 且 \(\Gamma\) 是归纳的, 故 \(\A[\ov i]^\momg=\t\) , 从而 \(\momg\vDash\A\) .

I.56

令语言 \(L_\mN:=(0,S,+,\times,<)\) 及其上面的标准模型 \(\mN:=(\N,0,S,+,\times,<)\) . 考虑向语言中加入一个新的常数符号 \(c\) 从而得到新语言 \(L':=(0,S,+,\times,<,c)\) , 之后来看 \(L'\) 上的公式集

\[\mathscr N:={\bf Th}(\mN)+\{S^i0<c:i\in\N\} \]

之后利用紧致性定理来证明 \(\scr N\) 是一致的. 首先容易验证, 对于任何 \(c'\in\N\) , 拓展后的 \(L'\) 上的结构 \(\mN(c'):=(\N,0,S,+,\times,<,c')\) 仍然是 \(L'\) 上的公式集 \({\bf Th}(\mN)\) 的模型, 而对于 \(\scr N\) 的任意有穷子集 \(\scr N'\) , 它一定是由 \({\bf Th}(\mN)\) 的有穷个片段 \(\scr A\) 以及 \(\{S^i0<c:i\in\N\}\) 的有穷个片段 \(\scr B\) 组成的, 而正因为 \(\scr B\) 有穷, 所以我们总是可以挑选一个充分大的 \(n\in\N\) 使得 \(\mN(n)\vDash\scr B\) , 故 \(\mN(n)\vDash\scr A+B\) 即 \(\scr N'\) , 即 \(\scr N'\) 是可满足的, 从而 \(\scr N\) 是可满足的, 故它存在一个模型 \(\mA:=(N,0^\mA,S^\mA,+^\mA,\times^\mA,<^\mA,c^\mA)\) , 之后我们将其限制在 \(L_\mN\) 上得到的模型 \(\mC\) 即为所求, 因为在它的论域 \(N\) 上存在一个比所有"自然数"都要更大的数.

I.57

令公式集

\[\Gamma':=\Gamma+\{\ex\vec x_n\bigwedge_{1\le i<j\le n}(\neg x_i=x_j):n\in\N\} \]

同理 I.56 , 对于任意 \(\Gamma'\) 的有穷子集 \(\Gamma^*\) , 根据前提, 我们总能挑选 \(\Gamma\) 的充分大的一个模型 \(\mA\) 使得 \(\mA\vDash\Gamma^*\) , 从而 \(\Gamma^*\) 可满足, 因此 \(\Gamma'\) 可满足, 从而存在 \(\Gamma'\) 的模型 \(\mC\) , 它是 \(\Gamma'\) 的模型并且它的论域是无穷的.

I.58

我就要用 upward Lowenheim-Skolem theorem.

I.59

(1) 首先我们有 \({\bf Th}(\mR)\vdash \fa x(x-x=0)\) , 因此在 \(^*\mR\) 中, 对于任意 \(x\in^*\R\) 均有 \(x-x=0\) , 而显然 \(0\) 是无穷小量, 从而 \(x\approx x\) .

(2) 这可以由 \(|x-y|=|y-x|\) 导出, 因为这在 \(\mR\) 中成立, 故它也在 \(^*\mR\) 中成立.

(3) 这可以由 \(|x-z|\le|x-y|+|y-z|\)​ 导出.

I.60

因为 \(0\le x\le y\to |x|\le|y|\) 在 \(\mR\) 中成立, 故它也在 \(^*\mR\)​ 中成立.

I.61

(2) 对于任意 \(x,y\in{^*\R}\) , 均有 \(x+y=\st(x)+r+\st(y)+r'=\st(x)+\st(y)+(r+r')\) , 因为 \(r,r'\) 是无穷小量所以 \(r+r'\) 也是, 而由于 \(\st(x),\st(y)\in\R\) 故 \(\st(x)+\st(y)\in\R\) 从而 \(\st(x+y)=\st(x)+\st(y)\) .

(3) 我们只需要验证 \(\st(-x)=-\st(x)\) 即可, 对于 \(x\in{^*\R}\) 我们有 \(x=\st(x)+r\) 故 \(-x=-st(x)-r\) , 而 \(|-r|=|r|\) 故 \(-r\) 是无穷小量, 从而 \(\st(-x)=-\st(x)\). 在这里 \(\st(a-b)=\st(a+(-b))=\st(a)+\st(-b)=\st(a)-\st(b)\) .

(4) 对于 \(x,y\in{^*\R}\) , 我们有 \(x\cdot y=(\st(x)+r)\cdot(\st(y)+r')=\st(x)\cdot\st(y)+r\cdot\st(y)+r'\cdot\st(x)+r\cdot r'\) , 由 I.6.41 可得后面那一坨都是无穷小量.

(6) 对 \(n\) 施以归纳, \(n=0,1\) 的情形是显然的. 而 \(\st(a^{n+1})=\st(a^n\cdot a)\) , 根据 (4) 可得 \(RHS=\st(a^n)\cdot\st(a)\) , 根据 I.H. 有 \(\st(a^n)=\st(a)^n\) 故 \(RHS=\st(a)^n\cdot\st(a)=\st(a)^{n+1}\) .

I.62

考虑一阶语句 \(\fa x\ex y(N(y)\and y>x)\) , 由于 \(^*\R\) 中存在无穷大超实数 , 因而我们也存在无穷大"自然数".

I.63

首先显然 \(h-1\) 是无穷数, 并且我们有 \(\fa x[(x\not= 0\and N(x))\to(N(x-1))]\) , 因此 \(h-1\) 是 \(^*\R\) 中的"自然数".

​ 然而这并不与传达原理冲突, 因为一个"自然数"的非空子集没有最小值的前提是它不包含标准自然数, 而这样的一个子集我们是没法在 \(L\) 中描述它的, 我们的语言的能力在区别无穷和有穷上是很有限的.

I.64

首先我们看一个一阶语句 \(\A\)

\[\fa n((N(n)\and n>0)\to\ex i(N(i)\and i\le x\and\fa j((N(j)\and0\le j\le n)\to f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)\ge f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)))) \]

它的意思是说, 对于任意正整数 \(n\) , 我们在 \([a,b]\) 这个区间内采样 \(n+1\) 个点, 它们是 \(\{a+\frac{b-a}{n}\cdot k:0\le k\le n\}\) , 那么在这 \(n+1\) 个点中, 存在一个点 \(i\) 使得它上面的函数值大于等于其余的 \(n\) 个点. 这句话在 \(\mR\) 中当然是正确的, 于是由于 \(\mR\prec{^*\mR}\) 故这句话在 \(^*\mR\) 中也是正确的.

​ 根据前面的讨论我们知道存在无穷大自然数, 取出这样的一个无穷大自然数 \(K\) , 那么我们可以把语句 \(\A\) 中的 \(n\) 替换为 \(K\) , 因此存在另一个超自然数(标准或无穷大) \(I\) 使得, 对于任意不超过 \(K\) 的超自然数 \(i\) 均有

\[^*f(a+(b-a)\cdot\frac IK)\ge{^*f}(a+(b-a)\cdot\frac iK) \]

由于 \(x\ge y\implies\st(x)\ge\st(y)\) , 所以我们有

\[\st({^*f}(a+(b-a)\cdot\frac IK))\ge\st({^*f}(a+(b-a)\cdot\frac iK)) \]

而 \(f\) 连续, 所以 \(^*f\) 和 \(\st\) 关于 \(\circ\) 交换, 故有

\[^*f(\st(a+(b-a)\cdot\frac IK))\ge{^*f}(a+(b-a)\cdot\st(\frac iK)) \]

令 \(I':=\st(a+(b-a)\cdot\frac IK)\) , 于是 \(I'\in\R\) 并且 \(LHS={^*f}(I')\) , 我们尝试论证这个 \(I'\) 就是我们想要的那个实数, 因此我们需要先证明以下的引理

Lem 1. \(K\) 是某个无穷大自然数, 则对于任意 \(r\in[0,1]\cap\R\) , 存在超自然数 \(i\) 使得 \(r=\st(\frac iK)\) .

我们考虑另外一个语句 \(\B\)

\[\fa x\fa a((a>0)\to\ex k(N(k)\and (x\le k\cdot a< x+a))) \]

这句话说的是, 在区间 \([x,x+a]\) 中一定存在形如 \(k\cdot a\) 的数. 它在 \(\mR\) 中成立, 所以在 \(^*\mR\) 中也成立, 于是我们取 \(a\) 为 \(\frac 1K\) , 取 \(x\) 为 \(r\) , 那么存在超自然数 \(i\) 使得 \(r\le\frac iK\le r+\frac 1K\) , 由于 \(K\) 为无穷大自然数, 所以 \(\frac 1K\) 为无穷小量, 所以 \(r\approx r+\frac 1K\) , 由夹逼定理可得 \(\frac iK\approx r\) , 即 \(\st(\frac iK)=\st(r)=r\) .

因此 \(a+(b-a)\cdot\st(\frac iK)\) 能够遍历全体 \([a,b]\) 中的实数, 所以我们可以说, 对于任意的 \(x\in[a,b]\cap\R\) , \(f(I')\ge f(x)\) , 于是我们就成功地通过 \(^*\mR\) 把这个取得最大值的实数 \(I'\) 构造出来了.

I.65

根据我们在实分析里证明介值定理的惯例, 我们先证明零点存在性定理.

Lem 1. 对于连续函数 \(f\) 以及实数 \(a,b(a<b)\) , 如果 \(f(a)<0<f(b)\) , 则存在实数 \(\xi\in[a,b]\) 使得 \(f(\xi)=0\) .

我们考虑如下的一个一阶语句 \(\A\)

\[\fa n((N(n)\and n>0)\to\ex i(N(i)\and i<n\and f(a+(b-a)\cdot\frac in)\le 0\and f(a+(b-a)\cdot\frac{i+1}n\ge 0))) \]

它是在说, 如果我们将 \([a,b]\) 这个区间内采样 \(n+1\) 个点 \(\{a+\frac{b-a}{n}\cdot k:0\le k\le n\}\) , 那么一定存在两个相邻的点 \(u,v\) 使得 \(f(u)\le 0\le f(v)\) . 这在 \(\mR\) 中显然是正确的, 因此它在 \(^*\mR\) 中也是正确的, 所以我们取一个无穷大自然数 \(K\) 并将其代入 \(n\) , 则存在超自然数 \(i\) 使得 \(f(a+(b-a)\cdot\frac iK)\le 0\le f(a+(b-a)\cdot\frac{i+1}K)\) , 记 \(I:=a+(b-a)\cdot\frac iK,I':=a+(b-a)\cdot\frac{i+1}K\) , 则不难注意到 \(I'-I=\frac{b-a}K\) 是无穷小量, 故 \(I'\approx I\) , 即 \(\st(I')=\st(I)\) . 我们直接取 \(\xi:=\st(I)\) , 由于 \(f(I)\le 0\le f(I')\) 并且 \(f\) 是连续函数, 所以有 \(f(\xi)=f(\st(I))=\st(f(I))\le 0\) , 而另一方面 \(f(\xi)=f(\st(I'))=\st(f(I'))\ge0\) , 从而有 \(f(\xi)=0\) .

​ 于是对于闭区间 \([a,b]\) , 由 I.64 我们可以假定其最小值最大值分别在 \(x_1,x_2\) 处取得, 则对于任意 \(a\in(f(x_1),f(x_2))\) 取 \(g(x)=f(x)-a\) , 则 \(g\) 连续并且 \(g(x_1)<0<g(x_2)\) , 从而根据 Lem 1 存在零点 \(\xi\) 使得 \(g(\xi)=0\) , 即为 \(f(\xi)=a\)​ .

I.66

令一阶公式

\[P(x):=N(x)\and x>1\and\fa u\fa v((N(u)\and N(v)\and u\cdot v=x\and u\le v)\to(u=1\and v=x)) \]

则在 \(\mR\) 中公式 \(P\) 定义了素数集 \(\mathbb P\) , 而我们显然有如下的在 \(\mR\) 中正确的语句 \(\A\)

\[\fa x(N(x)\to \ex y(P(y)\and y>x)) \]

从而 \(\A\) 在 \(^*\mR\) 中也正确, 而由于 \(^*\mR\) 中存在无穷大自然数, 故存在无穷大素数.