数理逻辑章习题 1 - 1,2,3,4,5

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\[\newcommand{\lra}{\leftrightarrow} \newcommand{\tx}[1]{\text{#1}} \newcommand{\line}[2]{\ & #1 \quad & \rm{(#2)}\\} \newcommand{\linet}[2]{\ & #1 \quad & \rm{#2}\\} \newcommand{\fa}{\forall} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\H}{\mathcal{H}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}} \newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\K}{\mathcal{K}} \newcommand{\Ax}{{\bf Ax}} \newcommand{\ax}{\Lambda} \newcommand{\bl}{\begin{aligned}} \newcommand{\el}{\end{aligned}} \newcommand{\T}{\mathscr{T}} \newcommand{\t}{ {\bf t} } \newcommand{\f}{ {\bf f} } \newcommand{\L}[1]{L(#1)} \newcommand{\eq}{\equiv} \newcommand{\inp}{\leftarrow} \newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\wff}{{\bf Wff}} \newcommand{\so}{{\scr O}} \newcommand{\vd}{\vdash_{L(N)}} \]

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Chapter 1 - Section 1,2,3,4,5

I.11

实际上我们只需要证明一个方向即可，即 \(\vdash (\fa x)(\fa y)\A\to(\fa y)(\fa x)\A\)

\[\begin{align} (1)\line{\fa x\fa y\A\to \fa y\A}{Specialization} (2)\line{\fa y\A\to \A}{Specialization} (3)\line{(\fa x\fa y\A\to \fa y\A)\to((\fa y\A\to \A)\to(\fa x\fa y\A\to\A))}{\Ax.1} (4)\line{(\fa y\A\to \A)\to(\fa x\fa y\A\to\A)}{MP-(1)(3)} (5)\line{\fa x\fa y\A\to\A}{MP-(2)(4)} (6)\line{\fa x\fa y\A\to\fa x\A}{\fa-introduction} (7)\line{\fa x\fa y\A\to\fa y\fa x\A}{\fa-introduction} \end{align} \]

I.12

\[\begin{align} (1)\line{\B\to\ex x\B}{\Ax.2} (2)\line{(\A\to\B)\to((\B\to\ex x\B)\to(\A\to\ex x\B))}{\Ax.1} (3)\line{\A\to\B}{given} (4)\line{\A\to\ex x\B}{MP-(1)(2)(3)} (5)\line{\ex x\A\to\ex x\B}{\ex-introduction} \end{align} \]

I.13

\[\begin{align} (1)\line{(\A\to\B)\to{(\neg\B\to\neg\A)}}{\Ax.1} (2)\line{\A\to\B}{given} (3)\line{\neg\B\to\neg\A}{MP-(1)(2)} (4)\line{\ex x\neg\B\to\ex x\neg\A}{I.4.23} (5)\line{(\ex x\neg\B\to\ex x\neg\A)\to(\fa x\A\to\fa x\B)}{\Ax.1} (6)\line{\fa x\A\to\fa x\B}{MP-(4)(5)} \end{align} \]

I.14

(1)

\[\bl (1)\line{x<y}{given} (2)\line{u<v}{I.4.12-(1)} (3)\line{y<x}{I.4.12-(2)} \el \]

(2)

假设 \(L\) 是包含了二元谓词符号 \(<\) 的语言，并且假定$ \vdash_L x<y\to y<x$ ，那么对于任何 \(L\) 上的模型 \(M=(|M|,\T)\) 均有 \(M\vDash_L x<y\to y<x\)，然而模型 \((\N;<_\N)\) 显然不满足它，与假设矛盾，从而 $ \not\vdash_L x<y\to y<x$​ .

(3)

显然不，因为公式 \(x<y\)​​ 不是一个语句；事实上，这反而强调了演绎定理中的条件的必要性 .

I.15

考虑对 \(L\) 上的公式 \(\C\) 施以归纳

​ 当 \(\C\) 是原子公式的时候，假定 \(\C\equiv P(t_1...t_k)\) 或者 \(\C\equiv t_1=t_2\)，那么对于任意的一个将 \(\C\) 中的若干子公式 \(\A\) 替换为 \(\B\) 后得到的公式 \(\C'\) 均有 \(\C\equiv\C'\) ，从而 \(\C\lra\C'\) 是逻辑公理 .

​ 对于逻辑连词的情形，若 \(\C\equiv\neg\D\) ，那么对于任意的 \(\C'\) 存在 \(\D'\) 使得 \(\C'\equiv\neg\D'\) ，根据 I.H. 有 \(\Gamma\vdash\D\lra\D'\) ，而 \((\D\lra\D')\to (\neg\D\lra\neg\D')\) 是逻辑公理，故应用 MP 即可得到 \(\Gamma\vdash\neg\D\lra\neg\D'\) 即 \(\C\lra\C'\)；若 \(\C\eq\D\or\E\) ，则对于任意的 \(\C'\) 存在 \(\D',\E'\) 使得 \(\C'\eq\D'\or\E'\) ，并且根据 I.H. 有 \(\Gamma\vdash\D\lra\D',\E\lra\E'\) ，而 \(\D\lra\D',\E\lra\E'\vDash_{\bf Taut}(\D\or\E)\lra(\D'\or\E')\) ，故有 \(\Gamma\vdash(\D\or\E)\lra(\D'\or\E')\) 即 \(\C\lra\C'\)​​ .

​ 当 \(\C\eq\ex x\D\) 时，对于任意 \(\C'\) 存在 \(\D'\) 使得 \(\Gamma\vdash\D\lra\D'\) 且 \(\C'\eq\ex x\D'\) ，则 \(\C\lra\C'\eq\ex x\D\lra\ex x\D'\) ，由 I.4.23 可得 \(\D\to\D'\vdash\ex x\D\to\ex x\D'\) 以及 \(\D'\to\D\vdash\ex x\D'\to\ex x\D\) 从而有 \(\Gamma\vdash\ex x\D\lra\ex x\D'\) 即 \(\C\lra\C'\)​ .

I.16

\[\bl (1)\line{x=y\to ((z=x)[z\leftarrow x]\lra (z=x)[z\leftarrow y])}{\Ax.4} \equiv\linet{x=y\to((x=x)\lra(y=x))}{} (2)\line{x=x}{\Ax.3} (3)\line{(\A\to(\B\lra\C))\to(\B\to(A\to\C))}{\Ax.1} (4)\line{x=y\to y=x}{MP-(1)(2)(3)} \el \]

I.17

首先容易验证 \((x=y\and y=z)\to x=z\) 和 \(x=y\to(y=z\to x=z)\) 是同一个东西，所以只需要证明 $ \vdash x=y\to(y=z\to x=z)$ 即可.

\[\bl (1)\line{y=x\to ((u=z)[u\leftarrow y]\lra(u=z)[u\leftarrow x])}{\Ax.4} \eq\linet{y=x\to(y=z\lra x=z)}{} (2)\line{x=y\to y=x}{I.16} (3)\line{(\A\lra\B)\to(\A\to\B)}{\Ax.1} (4)\linet{x=y\to(y=z\to x=z)}{(1)(2)(3)} \el \]

I.18

对 \(L\) 上的公式 \(\C\) 施以归纳

​ 当 \(\C\) 是原子公式的时候，假定 \(\C\eq P(t_1'...t_k')\) 或者 \(\C\eq t_1'=t_2'\) ，对于任意一个 \(\C'\) ，由于公式的构成是一个树形结构，所以我们总是可以选择若干个在 \(\C\) 中没出现过的变元 \(z_1...z_m\) 并且把这些变元替换掉 \(\C\) 中需要被替换的位置，从而构造出一个公式 \(\C^*[z_1...z_m]\) 使得 \(\C^*[z_1...z_m\leftarrow t_{i_1}...t_{i_m}]\eq\C\) 且 \(\C^*[z_1...z_m\leftarrow s_{i_1}...s_{i_m}]\eq\C'\) ，于是根据公式 \(\C^*\) 就可以定义两个长度为 \(m+1\) 的公式序列 \(\langle\A_i:0\le i\le m\rangle,\langle\B_i:0\le i\le m\rangle\)​

\[\A_0:\eq\C^*\ ;\A_{k+1}:\eq\A_k[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}]\\ \B_0:\eq\C^*\ ;\B_{k+1}:\eq\B_k[z_{k+1}\leftarrow s_{i_{k+1}}] \]

之后对于 \(k\le m\) 施以归纳

​ 对于 \(k=0\) 显然有 \(\A_0\eq\B_0\) 从而有 $ \vdash\A_0\lra\B_0$ .

​ 对于 \(k<m\) ，由 I.H. 得到 \(\Gamma\vdash\A_k\lra\B_k\) ，再由 I.4.12 得到 \(\Gamma\vdash(\A_k\lra\B_k)[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}]\) 即 \(\A_{k+1}\lra\B_k[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}]\) ，而由 \(\Ax.4\) 可得 $ \vdash s_{i_{k+1}}=t_{i_{k+1}}\to(\B_k[z_{k+1}\leftarrow s_{i_{k+1}}]\lra\B_k[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}])$ 即 \(s_{i_{k+1}}=t_{i_{k+1}}\to(\B_{k+1}\lra\B_k[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}])\) ，而又由于 \(\Gamma\vdash s_{i_{k+1}}=t_{i_{k+1}}\) ，从而应用 MP 即可得到 \(\Gamma\vdash \A_{k+1}\lra\B_k[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}],\B_{k+1}\lra\B_k[z_{k+1}\leftarrow t_{i_{k+1}}]\) 故 \(\Gamma\vdash\A_{k+1}\lra\B_{k+1}\)​ .

从而得到 \(\Gamma\vdash \A_m\lra\B_m\) 即 \(\C\lra\C'\)​ .

​ 逻辑连词和量词的情形与 I.15 是类似的，也是平凡的，故略去.

I.19

这一情况可以看作是 I.18 的一个实例，对于一个 \(L\) 上的项 \(t\) 及经过若干次替换的 \(t'\) ，令公式 \(\A:\eq t=t\) 与公式 \(\A':\eq t=t'\) 那么由 I.18 可得 \(\Gamma\vdash\A\lra\A'\) ，而 \(\A\) 可以由 \(\Ax.3\) 与 I.4.12 轻易导出，从而 \(\Gamma\vdash\A'\) .

I.20

不完全必要，主要是演绎定理的问题，如果我们的证明过程中使用的 \(\ex\)-introduction 所引入的量词均不影响到 \(\A\) 中的某个变元 \(x\) ，或者说变元 \(x\) 被冻结了，那么实际上演绎定理的归纳法仍然正确，所以仍然可以应用演绎定理，从而仍然可以得到反证法的正确性.

I.21

令 \(L':=L\cup\{a\}\) ，则根据 I.4.20 ，条件(2)是在说 \(\Gamma\vdash_{L'}\A[a]\to\B\) ，取不在 \(\A,\B\) 中出现的变元 \(z\) ，则根据 I.4.15 有 \(\Gamma\vdash_L \A[z]\to\B\) ，再由 \(\ex\)-introduction 规则得到 \(\Gamma\vdash_L\ex z\A[z]\to\B\) ，由于对 \(z\) 的约定以及 I.4.13 可得 $ \vdash\ex x\A[x]\lra\ex z\A[z]$ ，从而应用两次 MP 可以得到 \(\Gamma\vdash_L\B\)​ .

I.22

首先看 $ \vdash\A\to\fa x\A$ ，首先 \(\vDash_{\bf Taut}\A\to\A\) ，再应用 \(\fa\)-introduction （ \(x\) 不在 \(\A\) 中自由出现）即可得到 $ \vdash\A\to\fa x\A$ ；对于 $ \vdash\ex x\A\to\A$ 也是同理，应用 \(\ex\)-introduction 即可.

I.23

首先来证明 \(\vdash\fa x(\A\and\B)\lra(\fa x\A\and\fa x\B)\)

​ \((\to)\) 首先由 Specialization 可得 \(\vdash\fa x(\A\and\B)\to(\A\and\B)\) ，进一步有 \(\A\and\B\vDash_{\bf Taut}\A,\B\) ，之后经由 \(\Ax.1\) 以及几次 MP 可以得到 \(\vdash\fa x(\A\and\B)\to\A,\fa x(\A\and\B)\to\B\) ，再由 \(\fa\)-introduction 得到 \(\vdash\fa x(\A\and\B)\to\fa x\A,\fa x(\A\and\B)\to\fa x\B\) ，而又有 \(\C\to\D,\C\to\E\vDash_{\bf Taut}\C\to(\D\and\E)\) ，从而有 \(\vdash\fa x(\A\and\B)\to(\fa x\A\and\fa x\B)\) .

​ \((\leftarrow)\) 首先由 \(\vdash(\fa x\A\and\fa x\B)\to\fa x\A,\fa x\A\to\A\) 可以得到 \(\vdash(\fa x\A\and\fa x\B)\to\A\) 类似的还有 \(\vdash(\fa x\A\and\fa x\B)\to\B\) ，从而有 \(\vdash(\fa x\A\and\fa x\B)\to(\A\and\B)\) ，之后由 \(\fa\)-introduction 可得 \(\vdash(\fa x\A\and\fa x\B)\to\fa x(\A\and\B)\)​ .

​ 接下来我们来证明 \(\vdash\ex x(\A\or\B)\lra(\ex x\A\or\ex x\B)\) ，事实上可以把存在量词的情形看作全称量词的情形的一个实例，首先注意到 \(\vdash\ex x(\A\or\B)\lra \neg\fa x(\neg\A\and\neg\B),(\ex x\A\or\ex x\B)\lra \neg(\fa x\neg\A\and\fa x \neg\B)\) ，于是令 \(\A':\eq\neg\A,\B':\eq\neg\B\) ，之后通过 I.4.25 即可得到存在量词的情形的证明.

I.24

\((\fa\)-monotonicity\()\) 首先由 \(\Ax.2\) 可得 \(\vdash\A\to\ex x\A\) ，之后由 \(\fa\)-monotonicity 可得 \(\vdash\fa y\A\to\fa y\ex x\A\) ，之后再由 \(\ex\)-introduction 得到 \(\vdash \ex x\fa y\A\to\fa y\ex x\A\) .

​ \((\)auxiliary constant\()\)首先我们扩充语言，向 \(L\) 中添加一个常数 \(c\) 得到语言 \(L'\) ，之后我们先证明 \(\vdash_{L'}\fa y\A[x\inp c]\to \fa y\ex x\A\) ，这可以通过 \(\Ax.2\) 以及应用一次 \(\fa\)-monotonicity 得到，取适当变元 \(z\) 可得到 \(\vdash_L\fa y\A[x\inp z]\to\fa y\ex x\A\) ，这里假设了 \(x\not\eq y\) ，于是由 I.4.12 将 \(z\) 替换为 \(x\) 即可得到 \(\vdash_L\fa y\A\to\fa y\ex x\A\) ，之后再进行一次 \(\ex\)-introduction 即可得到我们想要的结论了.

ps: srds 这种方法好像也使用了 monotonicity ，感觉本质上还是方法一，辅助常元的作用似乎不大.

I.25

这个题我们用 I.4.26 . 首先由 \(\Ax.1\) 有 \(\vdash\fa x\A\or\neg\fa x\A\) ，之后只需要分别证明 \(\vdash \fa x\A\to \ex x(\A\to\fa x \A),\neg\fa x\A\to\ex x(\A\to\fa x\A)\) .

​ \((\vdash\fa x\A\to\ex x(\A\to\fa x\A))\) 首先由 \(\Ax.1\) 有 \(\vdash\fa x\A\to(\A\to\fa x\A)\) ，之后由 \(\Ax.2\) 有 \(\vdash(\A\to\fa x\A)\to\ex x(\A\to\fa x\A)\) ，从而应用两次 MP 可以得到 \(\vdash\fa x\A\to\ex x(\A\to\fa x\A)\) .

​ \((\vdash\neg\fa x\A\to\ex x(\A\to\fa x\A))\) 首先我们有 \(\vdash \neg\fa x\A\lra\ex x\neg\A,\ex x(\A\to\fa x\A)\lra\ex x(\neg\A\or\fa x\A)\) ，由\(\ex\)-distributive law可得 \(\vdash\ex x(\neg\A\or\fa x\A)\lra (\ex x\neg\A\or\ex x\fa x\A)\) ，再由 I.4.25 ，我们只需证明 \(\vdash\ex x\neg\A\to(\ex x\neg\A\or\ex x\fa x\A)\) ，而事实上这是 \(\Ax.1\) .

I.26

显然，这是因为这四个公式都是重言式，所以 \(\ax_2\subseteq\ax_1\) .

I.27 ~ I.42 是关于 \(\ax_2\) 的推理能力的，先略过

I.43

即验证，对于任意 \(L\) 上的模型 \(M:=(|M|,\T)\) ，如果 \(M\vDash\A\) 那么 \(M\vDash\fa x\A\) . 首先 \(\fa x\A\) 本质上是 \(\neg\ex x\neg\A\) ，并且我们钦定 \(\A\) 中自由出现的变元的列表为 \((x_1...x_k)\) ，即 \(\A\eq\A(x_1...x_k)\) ，根据假设 \(M\vDash\A(x_1...x_k)\) 就是在 \(L(M)\) 中，对于任意的 \(\la{i_1...i_k}\in|M|^k\) 均有 \(\A(\ov{i_1}...\ov{i_k})^\T=\t\) ，从而 \((\neg\A(\ov {i_1} ...\ov {i_k}))^\T=\f\) ，因此无论 \(x\) 是否自由出现在 \(\A\) 中都有 \((\ex x\neg\A(\ov {i_1}...\ov {i_k}))^\T=\f\) 从而 \((\fa x\A(\ov{i_1}...\ov{i_k}))^\T=\t\) 即 \(M\vDash\fa xA\) .

I.44

即验证，如果 \(\A\) 是语句，那么 \(\Gamma+\A\vDash\B\) 蕴涵 \(\Gamma\vDash\A\to\B\) . 假定前提成立，对于 \(L\) 上的模型 \(M:=(|M|,\T)\) 满足 \(M\vDash \Gamma\) ，我们来验证 \(M\vDash\A\to\B\) ，由于 \(\A\) 是语句，所以可以分 \(\A^\T=\t,\f\) 两种情况来讨论. 如果 \(\A^\T=\t\) 则 \(M\vDash\Gamma+\A\) 从而 \(M\vDash\B\) 故容易验证 \(M\vDash\A\to\B\) ；如果 \(\A^\T=\f\) ，那么显然有 \(M\vDash\A\to\B\) . 从而 \(\Gamma\vDash\A\to\B\)​ .

I.45 , I.46

Trivial.

I.47

I.48