第五次作业

1. 用回溯法分析最小重量机器设计问题

假设有 n 个部件，每个部件可以从 m 个供应商处购买。已知：第 i 个部件从第 j 个供应商购买的价格 c[i][j]，第 i 个部件从第 j 个供应商购买的重量 w[i][j]，要求选择每个部件的一个供应商，使得：

总价格不超过预算 d，总重量最小。

1.1 解空间

解空间是所有可能的供应商选择组合的集合。

每个部件有 m 种选择（供应商编号 1 到 m），共有 n 个部件，所以解空间的大小为 m^n（所有可能的排列）

例如：n=3, m=2，解空间为：(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1),（2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)，每个元组表示每个部件选择的供应商编号。

1.2 最小重量机器设计问题的解空间树

该问题的解空间树是一棵m叉树，树的高度为 n（对应 n 个部件），具体结构如下：

1. 根节点：处于第 0 层，表示尚未选择任何部件，总重量和总成本均为 0。
2. 第 i 层节点（1 \le i \le n）：表示已经确定前 i 个部件的供应商，每个节点有 m 个子节点，对应第 i+1 个部件的 m 种供应商选择。
3. 叶节点：处于第 n 层，表示所有 n 个部件的供应商都已选定，对应一个完整的采购方案，需判断是否满足总成本约束。

例如，当 n=2、m=2 时，解空间树是一棵 2 叉树，根节点生成 2 个第 1 层节点（对应部件 1 选供应商 1/2），每个第 1 层节点再生成 2 个第 2 层叶节点（对应部件 2 选供应商 1/2），共 4 个叶节点，对应 4 种采购方案。

1.3 遍历解空间树时每个结点的状态值

在回溯遍历解空间树的过程中，每个节点需要维护3个核心状态值，用于判断是否需要继续向下搜索：

1. 已选部件数量：表示当前已经确定了多少个部件的供应商，对应节点在解空间树中的层数。

2. 累计总重量：表示已经选定的这些部件的重量总和，是后续计算完整方案总重量的基础。

3. 累计总成本：表示已经选定的这些部件的成本总和，是剪枝判断的关键——如果累计总成本已经超过设定上限，该节点的所有子节点对应的方案都不合法，直接停止向下搜索。

另外，还可以维护一个全局的当前最优重量，如果当前节点的累计总重量已经大于这个最优值，即使后续部件重量为0也无法得到更优的方案，同样可以提前剪枝。

2. 对回溯算法的理解

回溯算法是一种基于深度优先搜索的枚举剪枝策略，核心思想是“尝试-验证-回退”：从根节点出发，逐步构建问题的部分解，每一步扩展一个维度的选择；若当前部分解违反约束或不可能优于已知最优解，则剪枝（放弃该分支的后续搜索），回退到上一层节点尝试其他选择；若能构建出完整解，则更新最优解。

回溯算法的核心步骤可概括为：定义解的形式→构建解空间树→确定节点状态→设计剪枝条件→深度优先遍历+回溯。