判断点是否在立方体内

需求

求一个点是否在一个立方体内，立方体的8个顶点已知。

 

求解思路

特殊情况

若这个立方体的6个面，底与顶是平行于xy平面，前后现行于xz平面，左右平行于yz平面。

这种特殊情况下，是非常简单的：只需要判断这个点，是否在由这个立方体的8个顶点决定的x、y、z的开区间内即可（若为闭区间，就可能出现在表面）。

 

一般情况

若不是上述特殊情况，那么其实就有点碰撞检测的味道了，在刚遇到此问题时第一个想到的就是和碰撞检测相关，要判断一个点是否一条直线的左侧还是右侧，只需要进行向量计算叉乘即可，然后根据计算结果的正负即可判断是在左还是在右。

同理，那么判断点是否在立方体内，就需要判断点是否在6个面的内侧(立方体占用的空间内)即可。

 

如何判断点在面的内侧呢？

若将立方体的一个面的法向量规定为向内，法向量与面上的点与这个点的方向向量同向，那么就在内侧；

即点在立方体内时，所在面的法向量与面上已知点和体内点的向量的点乘为正值，

如法向量为AB，A为在平面上；体内点为C，那么AB•AC=|AB|*|AC|*Cosθ，因为点在立方体内侧，与AB同向，θ夹角就为锐角，那AB•AC为正值；

若C在体外，那么θ为钝角，那AB•AC为负值；θ为0，那么也就意味着C在平面上了（这也可以视为在体内）。

 

按上述思路，将6个面都判断一遍，即可确认点是否立方体内了。

 

代码实现

C#实现则如下：

        /// <summary>
        /// 判断点P是否在立方体内（已知8个顶点）
        /// </summary>
        /// <param name="point">待检测的点</param>
        /// <param name="cubeVertices">立方体的8个顶点（按特定顺序）</param>
        /// <returns>true: 在内部; false: 在外部</returns>
        public static bool IsPointInCube(Vector3 point, Vector3[] cubeVertices)
        {
            // 定义立方体的6个面（假设顶点顺序已知）
            // 定义立方体的6个面（确保法向量朝外）
            int[][] faces =
            [
                [0, 3, 2, 1], // 底面（调整顶点顺序，使法向量朝上）
                [4, 5, 6, 7], // 顶面（法向量朝下）
                [0, 4, 7, 3], // 左面（法向量朝右）
                [1, 2, 6, 5], // 右面（法向量朝左）
                [2 ,3, 7, 6],// 前面（法向量朝内）
                [0, 1, 5, 4], // 后面（法向量朝外）
            ];

            foreach (var face in faces)
            {
                Vector3 v0 = cubeVertices[face[0]];
                Vector3 v1 = cubeVertices[face[1]];
                Vector3 v2 = cubeVertices[face[2]];

                // 计算两条边
                Vector3 edge1 = v1 - v0;
                Vector3 edge2 = v2 - v0;

                // 计算法向量（叉积）
                Vector3 normal = Vector3.Cross(edge1, edge2);
                normal = Vector3.Normalize(normal);

                // 计算AP向量
                Vector3 AP =  point-v0 ;

                // 计算点积（AP · n）
                float dot = Vector3.Dot(AP, normal);

                if (dot > 0.0001f) // 点在面外侧（考虑浮点误差）
                {
                    return false;
                }
            }

            return true; // 点在所有面内侧
        }

 

 

 

调用如下：

Vector3[] cubeVertices =
[
    new Vector3(0, 0, 0), // 顶点0
    new Vector3(1, 0, 0), // 顶点1
    new Vector3(1, 1, 0), // 顶点2
    new Vector3(0, 1, 0), // 顶点3
    new Vector3(0, 0, 1), // 顶点4
    new Vector3(1, 0, 1), // 顶点5
    new Vector3(1, 1, 1), // 顶点6
    new Vector3(0, 1, 1)  // 顶点7
];

Vector3 testPoint = new(2f, 0.5f, 0.5f); // 测试点
bool isInside = PointInCubeChecker.IsPointInCube(testPoint, cubeVertices);

 

 

上述代码的立方体示意如下，以帮助理解：

 图中箭头为各个面的方向向量，箭头尾部的数字为顶点顺序，如底面方向向量为向上。——右手定则（拇指方向为方向向量，其它4指弯曲方向为顶点的排序方向）

注意：图中的顶点编号与程序中的顶点编号，图中顶点的编号起始点是1，程序中的顶点起始编号是0。

 

 

当然也可以定义立方体外的方向为各个面的方向向量，只是要注意传入立方体的顶点的顺序。