树状数组

参考：y树状数组 - OI Wiki

1.常见的树状数组是一种支持单点修改，区间查询的数据结构,下面给出模版

int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}

我们记 𝑥 二进制最低位 1 以及后面的 0 组成的数为 lowbit⁡(𝑥)

注意：lowbit 指的不是最低位 1 所在的位数 𝑘，而是这个 1 和后面所有 0 组成的 2𝑘。

所以树状数组的索引最低位从1开始，因为索引为0时lowbit不存在，若题目中范围有取到0，记得向右偏移规避索引为0的情况。

 

void add(int x, int k) {
	x++;
	while (x < N) {
		tree[x] += k;
		x += lowbit(x);
	}
}

此函数方法主要用来实现单点修改，在 x 的位置上加入 k ,在构建树状数组时，常用于添加每个位置上的数构建树状数组。

 

int getSum(int x) {
	x++;
	int res = 0;
	while (x > 0) {
		res += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

此函数主要用来实现区间访问，返回 区间 [1, x] 上区间和。

 

例题：P3374 【模板】树状数组 1 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e5 + 5;

int tree[N];

int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}

void add(int x, int k) {
	x++;
	while (x < N) {
		tree[x] += k;
		x = x + lowbit(x);
	}
}

int getSum(int x) {
	x++;
	int res = 0;
	while (x > 0) {
		res += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

void solve() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	int t;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> t;
		add(i, t);
	}

	int op, x, y, k;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		cin >> op;
		if (op == 1) {
			cin >> x >> k;
			add(x, k);
		}
		else {
			cin >> x >> y;
			cout << getSum(y) - getSum(x - 1) << endl;
		}
	}
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	solve();
	return 0;
}

题目中要求

• 将某一个数加上 $x$； ------》 单点修改

• 求出某区间每一个数的和。  --------》区间访问

上面已经介绍getSum函数返回 [1,  x] 区间和，先要求求区间 [l, r] 区间和， 利用前缀和知识 Sum([l, r])  = getSum(r) - getSum(l - 1);

---

2.还有一种树状数组要求区间修改,单点查询,这样的要求如何转化为传统方法求解呢？

对于单点查询，我们可以利用差分和前缀和的思想，定义差分数组

对于区间修改，根据差分的性质，只需对区间两边进行修改就行

例题：P3368 【模板】树状数组 2 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e5 + 5;

int tree[N];

int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}

void add(int x, int k) {
	x++;
	while (x < N) {
		tree[x] += k;
		x += lowbit(x);
	}
}

int getSum(int x) {
	x++;
	int res = 0;
	while (x > 0) {
		res += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

void solve() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	vector<int> a(n + 1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> a[i];
		add(i, a[i] - a[i - 1]);
	}

	int op, x, y, k;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		cin >> op;
		if (op == 1) {
			cin >> x >> y >> k;
			add(x, k);
			add(y + 1, -k);
		}
		else {
			cin >> x;
			cout << getSum(x) << endl;
		}
	}
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	solve();
	return 0;
}

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