【动态规划】02-关于内外层循环先遍历背包还是物品的问题

代码随想录：377. 组合总和 Ⅳ

文中提到了

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

我们说的都是一维dp的内外层先遍历哪个的问题，基于此讨论。

nums = [1, 2, 3]
target = 4
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

我们先来看常见的情况：

• 外层for遍历物品，内层for循环遍历背包 （组合）
  dp[j - nums[i]] 如果外层i表示物品，内层j表示背包。
  物品就是从0-i。物品出现的顺序就只能是0-i的顺序。就是最外层循环i的时候，循环到1 就只有0，1这些物体，循环到2，这个时候是在0，1的基础上，再加2物体。也就是说，对于每次滚动跟新的过程，物品是随着更新的过程，慢慢被加进来的，每次都可见的是所有的背包容量（从0-j）。
  • 在某一次滚动更新过程，它是固定i（物品种类），改变j（背包容量）
    它根据变化的j（背包容量），依次选择我当前放物品0，放物品1，...，放物品i，能到背包容量j的情况。
    只能选择已经遍历到的物品，比如i=1， 那就只能在物品0，物品1中选择，然后放入背包重量为0，背包重量为1，...，背包重量为j的情况。

再来看：

• 外层for，i遍历背包，内层for，j循环遍历物品 （排列）
  dp[i - nums[j] 外层i表示背包，内层j表示物品。
  因为内层物品每次都会从0-j，所以在滚动更新的过程中，对于i=4，也就是背包重量确定为某一个值的时候，它会开始看有哪些物品可以满足背包的条件（此时要求背包能背的重量为1），它在一次更新过程是能看到所有的物品的。这也是为啥说它与排列更像，因为排列本身就是要满足条件的物品中的所有物品参与进来。
  • 在某一次滚动更新过程，它是固定i（背包容量），改变j（物品种类）， 也就是
    dp[4] = dp[4-nums[0]] + dp[4-nums[1]] + dp[4-nums[2]], 也就是
    dp[4] = dp[3] + dp[2] + dp[1]
    这里的dp[3]，就是我准备放nums[0]了，那你要给我腾出nums[0]的位置，那就是dp[3], 在这个基础上，再加一个nums[0] (1) 就得到target 4了
    这里仔细感受一下，是不是就是它根据变化的j（物品种类），依次选择我当前放物品0，放物品1，...，放物品j，能到背包容量i的情况。
    

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) {  // 外层i循环遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {  // 内层j循环遍历物品
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]]; // 依次选择当前放物品j
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

总结

• 对于外层for循环遍历物品，内层for遍历背包的情况
  在一次滚动更新的过程中（此时滚动的是物品的种类），它考虑了全部的背包重量，适用于组合这种，元素位置不同，算同一情况的，也就是不管元素位置怎么样，只统计一遍，那我按照物品遍历的顺序，只是其中的一种，但是也是组合了。

• 对于外层for遍历背包，内层for循环遍历物品的情况
  在一次滚动更新的过程中（此时滚动的是背包的容量），它考虑了全部的物品种类，适用于排列这种，元素位置不同，算不同情况的。