算法第4章实践报告

一、实践问题

　　7-1 最优合并问题

 

二、问题描述

　　给定k 个排好序的序列, 用 2 路合并算法将这k 个序列合并成一个序列。 假设所采用的 2 路合并算法合并 2 个长度分别为m和n的序列需要m+n-1 次比较。

　　试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序，使所需的总比较次数最少。 为了比较，还需要确定合并这个序列的最差合并顺序，使所需的总比较次数最多。

　　输入格式：第一行有 1 个正整数k，表示有 k个待合并序列。 第二行有 k个正整数，表示 k个待合并序列的长度。

　　输出格式：输出最多比较次数和最少比较次数。

 

三、算法描述

　　我们采用贪心算法解决这个问题，在计算最小比较次数时，我们每一次都挑选长度最短的两个程序进行合并；在计算最大值时，每一次都选择长度最长的两个程序合并。（通过反证法可以证明此思路的正确性）

　　为了找到最小（最大）的两个数，我们将数组进行升序（降序）排序，取前两个数，计算合并次数后将结果覆盖所取两个数其中一个，另外一个数置零。不断重复此过程，直至数组中只剩下一个非零数。

 

四、算法时间及空间复杂度分析

　　时间复杂度：由上述算法所属可得，需要循环 n-1 次，每一次循环中需要进行一次排序（采用快排），所以时间复杂度为O(( n-1 )*(nlogn))，即O(n²logn)。

　　空间复杂度：每一次循环都是在原数组上进行的修改，所以所需的空间是两个长度为 n 的数组，即空间复杂度为O(n)。

 

五、心得体会

　　在理解完题意之后就觉得这道题应该是每次都选择最小或最大数进行运算，但是并不确定，和搭档按照这种想法验证了样例，发现是正确的。再用反证法进行验证之后确定了自己的想法，于是便开始打代码了。在打代码的时候隐约感觉到有点似曾相识的感觉，每次循环都是拿出两个数放回一个数，想了想原来是哈夫曼编码的做法，于是对书本中将哈夫曼编码作为贪心算法的一个例子也有了更好地理解。