P1292 倒酒

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题目描述

Winy 是一家酒吧的老板，他的酒吧提供两种体积的啤酒，\(a\) ml 和 \(b\) ml，分别使用容积为 \(a\) ml 和 \(b\) ml 的酒杯来装载。
酒吧的生意并不好。Winy 发现酒鬼们都非常穷。有时，他们会因为负担不起 \(a\) ml 或者 \(b\) ml 啤酒的消费，而不得不离去。因此，Winy 决定出售第三种体积的啤酒（较小体积的啤酒）。
Winy 只有两种杯子，容积分别为 \(a\) ml 和 \(b\) ml，而且啤酒杯是没有刻度的。他只能通过两种杯子和酒桶间的互相倾倒来得到新的体积的酒。

为了简化倒酒的步骤，Winy 规定：

  1. \(a \ge b\)；
  2. 酒桶容积无限大，酒桶中酒的体积也是无限大（但远小于桶的容积）；
  3. 只包含三种可能的倒酒操作：
  4. 将酒桶中的酒倒入容积为 \(b\) ml 的酒杯中；
  5. 将容积为 \(a\) ml 的酒杯中的酒倒入酒桶；
  6. 将容积为 \(b\) ml 的酒杯中的酒倒入容积为 \(a\) ml 的酒杯中。
  7. 每次倒酒必须把杯子倒满或把被倾倒的杯子倒空。

Winy 希望通过若干次倾倒得到容积为 \(a\) ml 酒杯中剩下的酒的体积尽可能小，他请求你帮助他设计倾倒的方案。

错误逻辑

  • 在\((a,b)\)的整系数线性组合问题中，其组合的结果一定是\(k\times gcd(a,b),k\in\mathbb{Z}\)，而这道题目中\(a\) ml酒杯中要剩下的酒的体积尽可能小，也就是\(gcd(a,b)\)。
  • 根据扩展欧几里得算法，我们输入\((a,b)\)可以得到\(ax+by=gcd(a,b)\)中的\((x,y,d)\)。我原有的思路是对其中的\((x,y)\)都直接取绝对值来充当\((P_a,P_b)\)，但只能过将近一半的样例，出错的原因就在于把逻辑想的太简单了。
#include <iostream>

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int a = 0;
    int b = 0;
    scanf("%d %d", &a, &b);
    int x = 0;
    int y = 0;
    int minAlcohol = exgcd(a, b, x, y);
    // ax + by = d
    if (x < 0) x = -x;
    if (y < 0) y = -y;
    printf("%d\n", minAlcohol);
    printf("%d %d\n", x, y);
    return 0;
}
  • 题目中规定的三种倒酒操作，本质只有两个源头动作改变了杯中酒的总量：
    1. 往\(B\)杯中倒酒（总量为\(b\)），设操作次数为\(P_b\)；
    2. 往\(A\)杯酒倒空（总量为\(a\)），设操作次数为\(P_a\)。
  • 最终我们要让\(A\)杯中剩下的酒量为\(d=gcd(a,b)\)，我们实际求解的方程式：\(b\cdot P_b-a\cdot P_a=d\)，而扩展欧几里得算法求解的是\(ax+by=d\)。将两式对应，可以发现\(P_a\)对应的是\(-x\)；\(P_b\)对应的是\(y\)。直接对\((x,y)\)取绝对值在某些情况下会失效：
    例如输入是\((a=5,b=4)\)，算出的特解是\(x=1,y=-1\)（即\(5\times1+4\times(-1)=1\)），如果直接取绝对值，变成了\(P_a=1,P_b=1\)，但这会导致\(4\times1-5\times1=-1≠1\)，显然是不合法的倒酒方案。

特解\(\rightarrow\)通解

  • 根据方程\(a(-P_a)+b(P_b)=d\)，我们需要基于基础解\(x\)找到使得\(P_a\ge0\)且最小的解。二元一次方程的通解步长为\({b\over d}\)，所以最小的非负\(P_a\)为：

    \[P_a\equiv (-x\pmod{{b\over d}}+{b\over d})\pmod{{b\over d}} \]

  • 在\(P_a\)最小的情况下，对应的\(P_b\)自然也是最小的，可以通过原方程直接求出：

    \[P_b={a\cdot P_a+d\over b} \]

#include <iostream>

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int a = 0;
    int b = 0;
    scanf("%d %d", &a, &b);
    int x = 0;
    int y = 0;
    int minAlcohol = exgcd(a, b, x, y);
    // ax + by = d
    int step = b / minAlcohol;
    int Pa = ((-x % step) + step) % step;
    int Pb = (1LL * a * Pa + minAlcohol) / b;
    printf("%d\n", minAlcohol);
    printf("%d %d\n", Pa, Pb);
    return 0;
}
posted @ 2026-09-08 14:20  chen_xing  阅读(7)  评论(0)    收藏  举报