格密码基础 —— Lattices

  • \(Lattice\)是\(n\)维线性空间\(V\)中具有周期性结构的点集合，也可以视作\(\mathbb{R}^n\)的一个离散加法子群。
  • 定义1：给定\(n\)个线性无关向量\(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n}\in\mathbb{R}^m\)，由它们产生的格被定义为：

    \[\mathcal{L}(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n})=\{\sum x_i\vec{b_i}|x_i\in\mathbb{Z}\} \]

    我们把\(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n}\)叫做格的基。等价地，如果定义\(B=\left(\begin{matrix}\vec{b_1} & \vec{b_2} & \cdots & \vec{b_n}\end{matrix}\right)_{m×n}\)，那么\(B\)生成的格为：

    \[\mathcal{L}(B)=\mathcal{L}(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n})=\{B\vec{x}|\vec{x}\in\mathbb{Z}^n\} \]

    我们说格的秩为\(n\)，其维数为\(m\)，显然\(n\leq m\)，其中如果\(n=m\)，则称格为满格。
  • 定义2：格\(\mathcal{L}(B)\)中的基向量的所有线性组合所形成的集合，就叫做这组基向量所张成（生成）的空间(\(span\))：

    \[span(\mathcal{L}(B))=span(B)=\{B\vec{y}|\vec{y}\in\mathbb{R}^n\} \]

  • 定义3：对于任意格基\(B\)，定义

    \[\mathcal{P}=\{B\vec{x}|\vec{x}\in\mathbb{R}^n,\forall i:0\leq x_i<1\} \]

    为格\(\mathcal{L}(B)\)的基础区域，\(\mathcal{P}(B)\)取决于\(B\)。并且，如果我们在\(\mathcal{L}(B)\)的每一个格点处放置一个\(\mathcal{P}(B)\)的副本，就可以得到\(span(B)\)。
  • 如何判断给定的向量集是否构成格的\(basis\)？
    一个格可能有不同的基，给定一个格的前提下，判定一个向量集是否是该格的基。
    • 引理1：设\(\mathcal{L}\)为秩为\(n\)的格，设\(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n}\in\mathcal{L}\)为\(n\)个线性无关的格向量。\(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n}\)表示为\(\mathcal{L}\)的\(basis\)，当且仅当\(\mathcal{P}(\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots,\vec{b_n})∩\mathcal{L}=\{\vec{0}\}\)。
      证明：
      必要性：
      设\(B=\left(\begin{matrix}\vec{b_1} & \vec{b_2} & \cdots & \vec{b_n}\end{matrix}\right)\)是\(\mathcal{L}\)的基，由于\(\mathcal{L}\)是\(B\)的所有整数的线性组合，而\(\mathcal{P}(B)\)被定义为\(B\)线性组合的集合，其系数在\([0,1)\)之间，由线性无关向量表出向量的方式唯一且\(\mathcal{L}\)与\(\mathcal{P}(B)\)的系数交集是\(\vec{0}\)，因此\(\mathcal{P}(B)∩\mathcal{L}=\{\vec{0}\}\)。
      充分性：
      设\(\mathcal{L}∩\mathcal{P}(B)=\{\vec{0}\}\)，因为\(\mathcal{L}\)为秩\(n\)的格，\(B\)是线性无关的（一定为线性空间的基），对于\(y_i\in\mathbb{R}\)，可以将任何格向量\(\vec{x}\in\mathcal{L}\)写成\(\sum y_i\vec{b_i}\)。由定义，\(\mathcal{L}\)是离散的加法群，加法计算是封闭的，所以一定有\(\vec{x}'=\sum(y_i-\lfloor y_i \rfloor)\vec{b_i}\in \mathcal{L}\)。根据假设，\(\vec{x}'=\vec{0}\)，由线性无关向量的定义，\(y_i=\lfloor y_i\rfloor\)，即\(y_i\)是整数，\(\vec{x}\)是\(B\)的整数线性组合。
  • 如何确定两个给定的\(basis\)，即\(B_1\)、\(B_2\)是否等价？即生成相同的格(\(\mathcal{L}(B_1)=\mathcal{L}(B_2)\))？
    • 定义4：假设矩阵为\(U\in\mathbb{Z}^{n×n}\)，\(|U|=±1\)，则称\(U\)为幺模矩阵。
    • 引理2：如果\(U\)是幺模矩阵，那么\(U^{-1}\)也是幺模矩阵，特别是\(U^{-1}\in\mathbb{Z}^{n×n}\)。
    • 引理3：两个\(basis\)是等价的，当且仅当\(B_2=B_1U\)，其中\(U\)表示某个幺模矩阵。
      证明：
      必要性：
      若\(\mathcal{L}(B_1)=\mathcal{L}(B_2)\)，则\(span(B_1)=span(B_2)\)，于是一定存在过渡矩阵\(U\)使得\(B_2=B_1U\)。由于\(\vec{b_{2,i}}\in\mathcal{L}(B_1)\)，则\(U\in\mathbb{Z}^{n×n}\)；同理，存在矩阵\(V\in\mathbb{Z}^{n×n}\)，使得\(B_1=B_2V\)。\(B_2=B_1U=B_2VU\)，进一步有\(B_2^TB_2=(VU)^TB_2^TB_2(VU)\)，两边取行列式，可以得到\(det(B_2^TB_2)=(det(VU)^2)det(B_2^TB_2)\)，从而一定有\(det(V)\cdot det(U)=±1\)。矩阵的乘法只涉及到(＋,×)运算，没有(÷)运算，因此如果\(A\)是整数矩阵，则\(det(A)\)一定是整数，故\(det(U)=±1\)。
      充分性：
      假设\(B_2=B_1U\)，\(U\)为幺模矩阵，因为幺模矩阵一定是整数矩阵，那么\(B_2\)的列向量\(\vec{b_{2,i}}\)一定包含在\(\mathcal{L}(B_1)\)中，即\(\mathcal{L}(B_2)\subseteq \mathcal{L}(B_1)\)。并且由引理2可知\(B_1=B_2U^{-1}\)，同理，\(\mathcal{L}(B_1)\subseteq\mathcal{L}(B_2)\)。\(\mathcal{L}(B_1)=\mathcal{L}(B_2)\)得证。
  • 作为一个直接的推论，\(B\)是\(\mathbb{Z}^n\)的\(basis\)，当且仅当\(B\)是幺模矩阵。
    因为\(\mathbb{Z}^n\)可由\(I_n\)生成，即\(\mathcal{L}(I_n)=\mathbb{Z}^{n}\)，\(det(I_n)=1\)。由引理3可得，\(\mathcal{L}(B)=\mathbb{Z}^n\leftrightarrow B\in\mathbb{Z}^{n×n}\ and det(B)=±1\)
  • 另一种确定两个\(basis\)是否等价的方法是在下面的引理中给出的：
    • 引理4：两个\(basis\)是等价的，当且仅当一个可以通过列上（基向量）的以下操作从另一个\(basis\)中获得：
      1. \(\vec{b_i}\leftarrow \vec{b_i}+k\vec{b_j}[k\in\mathbb{Z}]\)；
      2. \(\vec{b_i}\leftrightarrow \vec{b_j}\)；
      3. \(\vec{b_i}\leftarrow -\vec{b_i}\)
  • 定义5：设\(\mathcal{L}\)是秩为\(n\)的格，定义\(\mathcal{L}\)的行列式为\(det(\mathcal{L})=vol(\mathcal{P})\)，其中\(vol(\mathcal{P})\)称为基本区域\(\mathcal{P}\)的体积。\(n=1\)时，\(vol(\mathcal{P})\)指的是长度；\(n=2\)时，\(vol(\mathcal{P})\)值得是面积；\(\cdots\cdots\)
    \(det(\mathcal{L})=\sqrt{det(B^TB)}\)，在\(\mathcal{L}\)是满格的前提下，\(B\)是方阵，于是有\(det(\mathcal{L})=|det(B)|\)。
    格的行列式是一个很好的定义，由引理3可知，同一个格即使在选择的基不同的情况下，\(det(B_1)=det(B_2)\)，这意味着格的行列式只取决于格本身，与基的选取无关。这和基本区域只取决于格本身是相通的。
    • 格的行列式与其密度成反比：行列式越小，格的密度越大，这个当我们将\(\mathcal{P}\)的副本放置在\(\mathcal{L}\)的格点上时可以铺满整个空间又是相通的。

参考资料：

posted @ 2026-08-02 21:47  chen_xing  阅读(9)  评论(0)    收藏  举报