概率论导论 —— 泊松过程

泊松分布
指数分布

• 指数分布与泊松分布密切相关，两者具有相同的来源，也就是泊松过程：

称在连续时间内，事件发生的过程为强度是\(\lambda\)（即单位时间内事件的平均发生次数）的泊松过程，若以下两个条件成立：

1. 在长度为\(t\)的区间中，事件的发生次数是服从于\(Pois(\lambda t)\)分布的随机变量；
2. 在不相交的区间中，事件的发生次数彼此独立。例如，事件在区间\((0,10)\)，\([10,12)\)，\([15,+∞)\)中的发生次数之间是相互独立的。

• 泊松过程大致如下图所示，其中每个"×"表示事件发生的时间点：
  
• 举一个具体的例子，假设收到电子邮件这一事件是根据强度为\(\lambda\)的泊松过程发生的。在一个小时内收到了多少封电子邮件？
  由定义，一个小时内，收到的邮件的数量（非负整数）服从\(Pois(\lambda)\)分布。
• 将问题反过来，也就是问从一个固定时间点开始(\(t=0\))，收到第一封邮件需要多长时间？
  因为等待第一封邮件到达的时间是正实数，因此服从于\((0,+∞)\)上的连续分布是合理的。设\(T_1\)为第一封邮件到达之前的时间。为了求出\(T_1\)的分布，要明白一个事实，即等待第一封邮件到达的时间大于\(t\)这一事件等价于在\(0\sim t\)这段事件内没有收到邮件这一事件等价。换言之，如果\(N_t\)表示在\(t\)时刻之前收到的邮件的数量，那么\(T_1>t\)与\(N_t=0\)等价，这被称为计数-时间的对偶性（将离散型随机变量\(N_t\)与连续型随机变量\(T_1\)联系起来）。
• 两个事件等价，由泊松过程的定义，有\(N_t\sim Pois(\lambda t)\)，因此

\[P(T_1>t)=P(N_t=0)={e^{-\lambda t}\cdot (\lambda t)^0\over0!}=e^{-\lambda t}\rightarrow P(T_1\leq t)=1-e^{-\lambda t}(t>0)\rightarrow T_1\sim Expo(\lambda) \]

即在强度为\(\lambda\)的泊松过程下，第一封邮件到达的事件服从参数为\(\lambda\)的指数分布。

• 那么从第一封邮件到达直到第二封邮件到达的时间间隔\(T_2-T_1\)服从什么分布？
  由泊松过程的定义，不相交的区间是相互独立的，因此一旦事件第一次发生，其也不会对后续产生影响。于是，\(T_2-T_1\)独立于事件第一次发生的事件，并且与之前的参数相同，从而\(T_2-T_1\sim Expo(\lambda)\)。
• 类似地，\(T_3-T_2\sim Expo(\lambda)\)且与\(T_1\)、\(T_2-T_1\)相互独立，继续推导可得所有的时间间隔都是独立同分布于\(Expo(\lambda)\)的随机变量。
• 综上所述，在强度为\(\lambda\)的泊松过程中：
  1. 在单位时间内，事件发生的次数服从于\(Pois(\lambda)\)；
  2. 事件发生的时间间隔序列是独立同分布的\(Expo(\lambda)\)。
     注意：直到第二次事件发生时间\(T_2\)是独立同分布于\(Expo(\lambda)\)的随机变量之和（即\(T_1\)与\(T_2-T_1\)之和），其分布不是指数分布，而是伽马分布(\(Gamma\))