数据结构

定义

我国的大学从1970年左右开始讲授数据结构，数据结构是什么？并没有一个统一的定义，一般认为研究数据元素，数据元素之间的关系及其操作的一门学科。其他一些概念，如数据对象表示多个数据元素，可理解为子集的概念。

在我们学习的高级程序语言设计中，设置了很多的数据类型，这些数据类型是经过一定抽象的，在硬件层面也有自己的数据类型。在数据结构课程中，我们使用抽象数据类型，抽象数据类型可以简单理解为数据类型，它通过数据元素、数据元素之间的关系、运算来完整表述。在我们定义一个抽象数据类型时候，只要数学特性保持不变，外面的模块对这个变化就是无感知的。个人理解，数据结构是元素和关系(D,S)；抽象数据类型是元素和关系和运算(D,S,P)。

抽象数据类型的设计 -> 讨论逻辑结构；抽象数据类型的表示和实现 -> 讨论物理（存储）结构。例如有序表是逻辑结构，顺序表是存储结构。

算法的（渐近）时间复杂度，T(n)=O(f(n))，T(n)可以看作是基本语句的频度，可以直接代入不等式求解。

线性表

顺序表插入平均移动元素次数n/2，删除的平均移动次数(n-1)/2。

若以线性表表示集合并进行集合的各种运算，应先对表中元素进行排序。

1 索引结构与散列技术（+顺序存储、链式存储是四种基本的存储结构）

1.1 索引结构

　　索引存储时需要建立索引表和数据表，从数据表的各个记录中抽取关键字建立索引表，索引表是有序排列的，数据表中的各个记录不要求有序。如果每条记录都对应一条索引，那么这样的索引称为稠密索引。通常来讲，一个索引对应一块数据，数据是分块有序的，取每块有序的分块中最大关键字建立索引表。数据查找某个关键字key时，先在索引表中找到第一个超过key的关键字，然后找到该关键字对应的分块的起始地址，第二步，在该分块中进行顺序查找，直至找到或者找不到。索引查找的性能介于顺序查找和二分查找之间。

　　多级索引，当单个索引表过大，在内存中无法存放时，可以继续向上建立二级索引、三级索引等。一般而言，只有最上层的索引在内存中，下层的索引以及数据都需要访问外存。所以通过建立m叉树的方式，减少索引层级，减少访问外存的次数。多级索引仍然是一种静态索引结构，当数据变化时，索引变动较大。可以采用树表这种动态索引的方式。

1.2 散列技术

　　元素个数是n，表长是m，负载因子α=n/m，一般α值的范围是0.65～0.9，可以通过元素个数计算合适的表长。散列需要选择合适的散列（哈希）函数，使不同的元素尽可能计算出不同的函数值。除留法是一种方法，通常选取不超过表长的最大质数作为余数。解决冲突有两种方法，开放寻址法和拉链法。

2 静态查找表（实现search方法）

2.1 顺序表

　　从后往前查找，位置从1开始，可以将第0位置设置为需要查找的key，作为哨兵，避免了不断做位置的比较，检查表有没有遍历完成，这种方式可以提高一倍的查找性能。

　　一般我们说，查找成功的平均查找长度，查找不成功的比较次数（可以认为是n+1次，0为哨兵位置）。在查找成功的情况下，如果需要查找的记录等概率出现，那么平均查找长度是(n+1)/2，如果在非等概率的情况下，我们从后往前访问，可以有两种优化方式：1、每条记录增加查找频数，按照频数排序整张表 2、最近查找的记录总是移动到表的最后面。

2.2 有序表

　　采用二分查找，mid=(low+high)/2，每次比较查找的key和mid位置的元素，如果相等，查找成功，否则更新low为mid+1或者high为mid-1。查找失败的终止条件是区间长度小于0，即low>high。

生成的判定树简化后如下（如果元素个数是2^h-1，那么刚好生成高度为h的满二叉树）：