数学

公式

x - s i n x = 1 / 6 x ^3

t a n x - x = 1 / 3 x ^3

t a n x - s i n x = 1 / 2 x ^3

渐近线

1.铅直渐近线

垂直于x轴的渐近线，也叫垂直渐近线

如果f（x）趋于x0+的极限或x0-的极限等于无穷

那么x=x0就是y=f（x）的一条铅直渐近线

2.水平渐近线

如果f（x）趋于+无穷的极限或-无穷的极限等于常数b

那么y=b就是y=f（x）的一条水平渐近线

3.斜渐近线

如果k等于f（x）/x在x趋于无穷时的极限，且极限不为0,；b等于f（x）-kx在x趋于无穷时的极限，则称直线y=kx+b是y=f（x）的一条斜渐近线

极值

f(x)在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一个点

对任意的x，都有f(x0)>f(x)，则f(x0)为f(x)的一个极大值

反之，f(x0)<f(x)，则f(x0)为f(x)的一个极小值

驻点

使导数为零的点（即f(x)的导数为0的实根0）叫做函数的驻点

极值点比为驻点，驻点不一定是极值点

求法

1. f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f(x0)的导数等于0

2. 如果x在（x0-△，x0）内，有f`(X）>0;而x在（x0，x0+△）内，有

   f`(X）<0,则f(x)在x0处取得极大值；

​ 如果x在（x0-△，x0）内，有f`(X）<0;而x在（x0，x0+△）内，有

f`(X）>0,则f(x)在x0处取得极小值；

3. 设f(x)在x0处有二阶导，且f`(X）=0，x0处的二阶导不为0，那么
   • 当x0处的二阶导<0时，x0处为极大值
   • 当x0处的二阶导>0时，x0处为极小值

（不可导点，也可能是极值点，注意导数的注意符号判定）

最值

步骤

1. 求驻点、不可导点

2. 求区间端点和驻点及不可导点的函数值，比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值

   （如果区间内只有一个极值，则极值为最值）

凹凸性与拐点

f(x)在区间内连续

凹：f(（x1+x2）/2)<（f(x1)+f(x2)）/2

凸：f(（x1+x2）/2)>（f(x1)+f(x2)）/2

判定

1. 如果f(x)在[a,b]内具有二阶导数，若在（a，b）内
   • 二阶导>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
   • 二阶导<0,则f(x)在[a,b]上的图形是图的.

拐点

1. 定义

   连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点（注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线）

2. 拐点的求法

   如果f(x)在（x0-△，x0+△）内存在二阶导数，则点（x0,f(x0)）是拐点的必要条件是x0处的二阶导等于0.

   设函数f(x)在x0的领域内二阶可导，且x0的二阶导等于0，

   x0两近旁近f``(x)变号，点（x0,f(x0)）即为拐点

   x0两近旁近f``(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点

   设函数f(x)在x0的领域内三阶可导，且二阶导等于0，而三阶导不等于0，那么（x0,f(x0)）即为拐点.

中值定理

罗尔中值定理

1. [a,b]连续
2. (a,b)可导
3. f(a)=f(b)

可得存在△属于(a,b),f`(△)=0

拉格朗日中值定理

1. [a,b]连续
2. (a,b)可导

存在△属于(a,b)，使得f`(△)=(f(b)-f(a))/(b-a)

洛必达法则

0/0型；∞/∞型；∞-∞型；0·∞型；0^0型，1∞型，∞^0型

则：其极限等于函数求导后的极限