二分图博弈

二分图博弈

注：以下都是本人的个人理解，没有任何保证，欢迎指出错误

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结论对无向图成立，“但是，一般图的最大匹配较为复杂，所以这一结论常出现在二分图的题目中．” - okwiki

结论

必胜点 \(\Leftrightarrow\) 匹配必选点

为什么 匹配必选点 具有 必胜点 性质？

考虑依次删掉一条 匹配边 两端点，即先删一个端点，再在删去这个点后的残余图里删掉另一个端点，最大匹配 减小 1。

因为删去 匹配必选点 会使匹配变小 1，所有要么先删的点在原图中是 匹配必选点，要么后删的端点在残余图中是 匹配必选点，这才能使得 最大匹配 变小 1。

这恰好就是必胜点的性质。

为什么 必胜点 是 匹配必选点？

这个博弈的特点是：

1. 选的点是相邻的

2. 不能走已经走过的点，相当于删除这个点

考虑相邻两次操作，相当于删掉一条边。最大匹配是自然的势能函数。拥有 匹配必选点 都人可以控制这个势能函数，而另一方是被动的。

匹配必选点 由一个人控制，是巧合吗？

我不知道。