2025.11 做题记录 / 剪断我们之间 连接的红线 就当从未了解里外的花花世界

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先考虑什么样的子结构是合法的，因为题目没有无解，得出条件应该为

• \(\sum a_i=2(n-1)\)
• \(1\leq a_i\leq n\)

考虑归纳证明，首先肯定存在 \(a_i=1\) 否则 \(\sum a_i\geq n\)，其实肯定存在 \(a_i>1\) 否则 \(\sum a_i=n-1\)。我们拼凑这两个点，并将其视作一个新的点，新的图仍然满足上述条件。

所以我们操作的时候只要保证连接了两个不同的连通块、以及组成的新点仍然有额外的度数即可，最后一条边除外。我们考虑贪心，大的跟大的乘，按 \(b\downarrow\) 枚举点，考虑怎么加边，首先子结构一定是若干度数为 \(d_1,\dots,d_m\) 的连通块，因为历史上能加就加所以肯定不存在两个 \(d_i>1\) 的，不妨令 \(d_1\geq 1\)，\(d_2,\dots,d_m=1\)，然后用两个队列 \(L/R\) 分别顺序维护连通块 \(1/2\to m\) 的出边。加边的话，特判 \(L\) 为空的，此时直接加入，之后先尽量连 \(R\) 中比 \(L\) 中最大边更大的，然后考虑能不能连一条 \(L\)，然后尽量连 \(R\) 中比初始的 \(L\) 最大值小的，最后把剩下的边加进 \(L\) 即可。

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P3734

如果没有障碍物的话我们只关心二进制的位数，设 \(f[i][j][k]\) 表示 \(x/y/z\) 做 \(i/j/k\) 位的方案数，转移显然是 \(f[i][j][k]=\sum_{d=0}^{i}f[i-d][j][k]+\sum_{d=0}^{j-1}f[i][j-d][k]+\sum_{d=0}^{k-1}f[i][j][k-d]\)。

如果有障碍物的话我们可以考虑容斥，设障碍集合为 \(diff\)，答案就是 \(\sum_{s \subseteq diff}(-1)^{|s|}f(s)\)。现在考虑钦定路过 \(s\) 的答案，首先 \(s\) 一定是 \(s_1\subseteq s_2\subseteq ...\subseteq s_m\) 形态的东西，不然没有贡献，诶那我们可以按照这个顺序 dp 带 \(-1\) 的方案数了，类似于 dag 图路径计数。

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CF1476F

我求我了，不要虚构不够优的贪心好不好，恼火了。

（去戾气版）虽然题解只有一篇没有直接声称设计状态为前 \(i\) 个灯最大完全覆盖前缀，并且这个状态非常的符合直觉，但是这样子直接声称或许遗漏了某些必要的思考步骤，也完整跳过了这道题目的精髓，不管怎么说声称之后只剩下一个普及组 dp。

这里尝试给出一些更加自然的思考角度，比较机械的，首先如果不按照某种顺序依次电灯，未来就很难去重，不妨先试试按照灯的顺序去考虑位置。点亮前 \(i\) 盏灯，之后我们关心一个二元组 \((i,j)\)，表示最左边的还没有点亮的灯是 \(l\)，向右一直覆盖到 \(r\)，考虑加入 \(i\) 会产生的变化：

• 向左走，\((i,j)\to (0,j)/(i,j)\)，条件是 \(x-p_x\leq i\)。
• 向右走，\((i,j)\to (i,x+p_x)/(i,j)\)，条件是 \(x+p_x>j\)。

\((0,j)\) 的特殊状态要求我们维护点亮前 \(i\) 盏灯能完整覆盖的最大前缀，剩下的二元组只有第二维会变化，所以不妨对所有的 \(i\) 维护 \(\max\{j\}\)，就是区间取 \(\max\) 了，剩下的都是分类讨论。但是进一步的，这些转移中，一个二元组出生起 \(i\) 就定死了直到碰到一个向左走的覆盖，意思是 \(j\) 其实是可以用区间 rmq 更新的，你只要从刚诞生的 \((i,j)\) 转移，一方面这个东西合法性肯定是先不行、再行的、答案也是单调的，你可以二分那个位置，另一方面刚诞生的 \((i,j)\) 等价于 \(i-1\) 灯前缀能覆盖出的最大前缀长度，因为这边肯定没有向后覆盖的边了大哥哥，不然就不是最大前缀长度了。所以设 \(f_i\) 表示点亮前 \(i\) 盏灯的最大完全覆盖前缀，分类讨论新灯往左还是往右，因为 \(f\) 单调写个二分 dp 上去。

或者你不想这么机械，你先考虑最终的情况是什么样的，若干相交、不包含、完全覆盖的区间，贡献可能来自区间左一个点、或者右一个点，你考虑去拆一个 dp 顺序，还是跟上文所述的那样按照 \(i\) 的顺序拆，拆除来的过程就跟题目的 dp 一致了哦。