口胡赛 2025.2.8

T1

先枚举 \(k\)，然后你关心的是 \([A_{i,j}=B_{i,j}]\) 还有 \([A_{i,j}=B_{i,j-k}]\)，你选择移动的矩阵第二个要全 \(1\)，更美观的就是 \([A_{i,j}\neq B_{i,j-k}]\) 要全 \(0\)，这种极大矩阵只有 \(O(n^2)\) 个，枚举两个边界单调栈可以轻易求出，再来点二位前缀和就行了，总的复杂度 \(O(n^3)\)。

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T2

比较经典的排序之后相邻的才有贡献，套上莫队容易直接做到 \(O(n\sqrt n\log n)\)，当然可以做到更均衡的复杂度，但是貌似难以优化到 \(O(n\sqrt n)\)。

这个区间 \(\min\{\oplus\}\) 不可减看上去难以直接做，但是观察到无用的点对比较多，我们可以考虑一下什么点对有用。对于 \(i<x<j\)，\((i,j)\) 有用那显然是 \(\min\{a_i\oplus a_x,a_x\oplus a_j\}>a_i\oplus a_j\)，对于一位来说，如果 \((a_i)\neq (a_j)\) 那么 \((a_x)\) 一定能匹配出更小的 \(0\)，如果 \((a_i)=(a_j)\)，若 \((a_x)=(a_{i/j})\) 那么持平，\((a_x)\neq (a_{i/j})\) 的话 \(x\) 就只能去祝 99 了。综合上述，一个可以打破合法的 \(x\) 要满足，在 \(a_i/a_j\) 的位不相同前跟它们保持一样，也就是 \(lcp(a_i,a_j)=lcp(a_{i/j},a_x)\)，可以得到 \((i,j)\) 合法其实就是不存在 \(k\in (i,j)\) 满足这个。

然后现在要对一个合法的 \(r\) 考虑一个 \(l\)，该从枚举 \(lcp\) 下手，比较明显 \((r,lcp)\) 只对着一个 \(l\)，比如说 \(i\) 前面有 \(j_0<j_1\) 满足 \(lcp(i,j_{0/1})=k,lcp(j_0,j_1)>k\)，那么 \(j_0\) 被淘汰其实要的是最后一个，因为 \((j_0,j_1),(j_1,i)\) 一定有一对更小的捏。根据这个分析点对数量只有 \(O(n\log V)\) 这么多了，然后求点对的方法可以 trie 也可以来点点 stl 都很好做的啦。

然后你现在有好多的 \((l,r,ans)\) 要贡献给询问 \([L,R]\)，\(L<=l,r<=R\) 是一个平凡的二维数点想怎么做怎么做，这里多一个 \(\log\)，总的复杂度 \(O(n\log V \log (n\log V))\)。

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T3

暴力怎么做？能邀请的邀请。相当于一个拓扑排序，比较显然。形式化的说，每次取出一个 \(sum(l_i,r_i)\geq k\) 的 \(i\) 使其为 \(1\)。

那你 \((l_i,r_i)\) 做的途中肯定不能遍历，那肯定要分块，分块怎么处理限制，有一个经典技巧，将集合 \(S(k)\) 分成 \(L(\lceil\frac{k}{2}\rceil),R(\lceil\frac{k}{2}\rceil)\)，当其中一个满足限制之后拿出来重新分配剩余限制，这样子 \(k\) 每次至少下降一半，复杂度只要乘一个 \(\log\) 就能划分集合了。现在考虑怎么分成两半，考虑猫树分治，那么就要在猫树上面维护前后缀了，剩下都是好做的，把 \((i,l_i,r_i)\) 挂成第一个跨越的区间的子区间的前后缀，每次单点加 \(1\) 一个 \(i\) 就从下往上遍历影响到的区间，对每个区间的贡献是前后缀的形式，容易用数据结构维护，然后对于超过限制的点拿出它的另一半重新放限制，如果彻底满足限制就累计答案放入要修改的序列。

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T4

两个路径不交我们可以枚举断边，然后在连通块中分别考虑答案。首先 \(len_x\) 表示根到 \(x\) 的边权异或和，那么 \(val(x,y)\) 就是 \(len_x\oplus len_y\)，子树里面的启发式合并就行了。子树外的可以考虑提前求出全局最长的 \((p,q)\)，令 \(p\) 为根，除了路径上的点别子树外都是这个 \(val(p,q)\)，路径上的再单独扫描一遍是容易的。其实先做完子树里面然后在直接按某种方式合并也可以求出答案（