luogu P3217 [HNOI2011]数矩形

LINK：数矩形

题意：给出n个点 求出一个最大的矩形。

矩形可以使斜着的。(不会告诉你样例我算了几年

这道题的一个潜规则 矩形面积都是整数 我也不知道为啥一定是整数 姑且是题目输出的要求吧。

所以用double什么的精度会挂的很惨。

考虑暴力 n^3枚举点 剩下一个点利用一些奇奇怪怪的向量什么的可以计算出来。(难写+TLE

考虑矩形的性质 对边平行且相等还得有一个角是直角 这个性质过于没用。

考虑另一个性质 对角线相等。这个性质就算是一个强性质。

我们n^2枚举点对 可以把对角线拿出来 然后围成矩形对角线中点我们算出来。

最后 排个序 所有长度相等的对角线且相交的矩形我们就可以枚举出来了。

可以复杂度为O(cnt) cnt为矩形的个数 可以证明矩形的个数不超过\(n^{2.5}\)

证明不再赘述。但是毕竟是一道几何题目 所以复习一点几何知识。

首先这道题我们要求出两点的中点 这个可以利用中点坐标公式来计算 即\(x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}\)

然后 排序 注意到 排过序后我们要把所有中点相同且对角线长度相同的拿出来 暴力枚举哪两个对角线配对。

因为存在不同的角度 矩形大小不同。

最后 求矩形面积，长乘宽 太没水平了 那叫叉积。

点两个知识点：叉积 点积.

两个运算都是向量之间的运算 其中|\(\vec a\)×\(\vec b\)|即为叉积 其运算法则为 |\(\vec a\)×\(\vec b\)|=|\(\vec a\)|\(\cdot\)|\(\vec b\)|\(\cdot\)\(sin\theta\)

其中\(theta\)为向量a和向量b的夹角 可以发现是两个向量所围成的四边形的面积。好像还可以判断向量b在向量a的左右方向。(这个我记不太清了。

当然 对于两个向量 (x,y)×(a,b)=xb-ay

点积：\(\vec a\cdot \vec b\)=\(|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot cos\theta\)

暂时看起来点积其实和高中书本的定义是一样的。就这么多。

//#include<bits\stdc++.h>
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#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 1000000000
#define ld long double
#define pb push_back
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define gc(a) scanf("%s",a+1);
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define pii pair<int,int> 
#define F first
#define S second
#define mk make_pair
#define P 13331ll
#define mod 1000003
#define RE register
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define ull unsigned long long
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
	RE int x=0,f=1;char ch=getc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();}
	return x*f;
}
const int MAXN=1510;
int n,cnt;ll ans;
struct wy
{
	ll len,x,y,dx,dy;
	bool operator <(wy a)const {return len==a.len?x==a.x?y<a.y:x<a.x:len<a.len;}
}t[MAXN*MAXN];
ll x[MAXN],y[MAXN];
inline ll calc(int x,int y)
{
	return abs(t[x].dx*t[y].dy-t[x].dy*t[y].dx)>>1;
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);
	rep(1,n,i)
	{
		get(x[i]);get(y[i]);
		rep(1,i-1,j)
		{
			t[++cnt].len=pf(x[i]-x[j])+pf(y[i]-y[j]);
			t[cnt].x=x[i]+x[j];t[cnt].y=y[i]+y[j];
			t[cnt].dx=x[i]-x[j];t[cnt].dy=y[i]-y[j];
		}
	}
	sort(t+1,t+1+cnt);
	int j=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i=j)
	{
		while(t[j].len==t[i].len&&t[j].x==t[i].x&&t[j].y==t[i].y)++j;
		rep(i,j-1,k)rep(k+1,j-1,w)ans=max(ans,calc(k,w));
	}
	putl(ans);
	return 0;
}