第二类斯特林数

斯特林数主要是研究 小盒放球的方案数问题。

定义：第二类斯特林数S(n,m)表示将n个不同的小球放在m个相同的盒子的方案数。

朴素的求法：S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n-1,m)

当然可以容斥：注意 要使用容斥这里需要把m个盒子看成相同的 再最后乘上$m!$表示各个盒子都是不同的。

于是显然有 $ans=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC(m,k)(m-k)^n$

性质：$n^k=\sum_ { i=0}^k S(k,i)×i!×C(n,i)$ 挺好理解的不再赘述。

$n^m=\sum_{k=0}^m \begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix} n^{\underline k}$

这个是由性质简单变形得来的。

放一个地址[某位dalao的神仙反演](https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/8426987.html)

下面是如何 卷积斯特林数：

考虑这个式子$\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC(m,k)(m-k)^n$

展开一下：$\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^k\frac{m!}{k!(m-k)!}(m-k)^n$

$\sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}$

可以发现 m-k+k==m 这说明了我们求S(n,x)时直接一个卷积就能求出某一行的值 呱唧呱唧。