电磁转矩方程的推导
首先根据前面几节的介绍，可知变换后的磁通-电流瞬时值关系为：

\[\lambda _{d} =L_{d}i_{d}+L_{af}i_{f} \]

\[\lambda _{q} =L_{q}i_{q} \]

\[\lambda _{f} =\frac{3}{2} L_{af}i_{d}+L_{ff}i_{f} \]

下标中的d,q,f表示直轴，交轴和励磁绕组量，本章的分析都是假设对称的运行情况，此时零序分量为0，变换后的电压方程为：

\[v_{d} =R_{a}i_{d}+\frac{d\lambda _{d} }{dt} -\omega _{me}\lambda _{q} \]

\[v_{q} =R_{a}i_{q}+\frac{d\lambda _{q} }{dt} +\omega _{me}\lambda _{d} \]

\[v_{f} =R_{f}i_{f}+\frac{d\lambda _{f} }{dt} \]

式中的omega_me为转子电角速度
由以上可得作用在同步电机转子上的电磁转矩为

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )(\lambda_{d} i _{q}-\lambda_{q} i _{d}) \]

在稳态且三相对称的作用下，转子的电角速度和电枢电压的电角频率，电流的电角频率三者相等，单位为rad/s，因为电枢产生的磁势及磁通波与转子同步旋转，也随之dq坐标系同步旋转，因此在dq坐标系中，观测者将看到恒定的磁通，因此可以将电压平衡方程中磁通的变化率忽略

\[\frac{\mathrm{d} \lambda }{\mathrm{d}t } =0 \]

令大写下标F\D\Q分别代表励磁，直轴和交轴的相应恒定、稳态值，则磁通电流等式可以变为：

\[\lambda _{D} =L_{d}i_{D}+L_{af}i_{F} \]

\[\lambda _{Q} =L_{q}i_{Q} \]

\[\lambda _{F} =\frac{3}{2} L_{af}i_{D}+L_{ff}i_{F} \]

在电压平衡方程中，忽略电枢压降和磁通变化率，则电压平衡方程可以变为

\[v_{D} = -\omega _{me}\lambda _{Q} \]

\[v_{Q} =\omega _{me}\lambda _{D} \]

\[v_{F} =R_{f}i_{F} \]

从而此时转矩方程可以变为：

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )(\lambda_{D} i _{Q}-\lambda_{Q} i _{D}) \]

此时将稳态磁链方程代入到稳态转矩方程中：

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )[(L_{d}i_{D}+L_{af}i_{F}) i _{Q}-(L_{q}i_{Q}) i _{D}] \]

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )(L_{d}i_{D}i _{Q}+L_{af}i_{F}i _{Q}-L_{q}i_{Q} i _{D}) \]

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )[(L_{d}-L_{q})i_{D}i _{Q}+L_{af}i_{F}i _{Q}] \]

又因为\(L_{af}\)和\(i_{f}\)由永磁体产生(或在励磁电机中由励磁电流产生励磁磁通)，在上式中，不少文章使用\(k_{E}\)来代替\(L_{af}i_{f}\)，得到如下的转矩表达式：

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )[(L_{d}-L_{q})i_{D}i _{Q}+k_{E}i _{Q}] \]

若只考虑表贴式永磁电机，则有\(L_{d}=L_{d}=L_{s}\),其中\(L_{s}\)为同步电感，代入转矩方程可得

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )(k_{E}i _{Q})=\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )(L_{af}i_{f}i _{Q}) \]

上式表明，
转矩由永磁体磁通和电枢电流的交轴分量相互作用而产生，或者说电枢电流和永磁体磁通正交的分量相互作用而产生，因此隐极电机其电枢电流的直轴分量研永磁体磁通方向，从而不产生转矩

转电磁矩方程的功率角度推导
关于电磁转矩的推导，还有一种从功率端推导的方式：
由dq轴电压方程(忽略变压器电势项)可知

\[v_{d} =R_{a}i_{d} -\omega _{me}i _{q}L_{q} \]

\[v_{q} =R_{a}i_{q} +\omega _{me}i _{d}L_{d}+\omega _{me}L_{af}i_{F} \]

使用\(k_{E}\)来代替\(L_{af}i_{f}\)，可得

\[v_{q} =R_{a}i_{q} +\omega _{me}i _{d}L_{d}+\omega _{me}k_{E} \]

电机消耗的有功功率为：

\[p =\frac{3}{2}(v_{d}i_{d}+v_{q}i_{q} ) \]

上式中的系数3/2是因为在前面的dq0变化中采用的是幅值不变原则，其功率发生了缩小，因此在计算功率时需要多乘一个3/2以保持功率不变
将电压方程代入到有功功率方程可得：

\[p =\frac{3}{2}r(i_{d}^2+i_{q}^2)+\frac{3}{2}\omega _{m}[k_{E}+i_{q}(L_{d}-L_{d})i_{d}i_{q}] \]

功率的前半部分\(\frac{3}{2}r(i_{d}^2+i_{q}^2)\)用于绕组铜损发热，后半部分\(\frac{3}{2}\omega _{m}[k_{E}+i_{q}(L_{d}-L_{d})i_{d}i_{q}]\)用于输出机械功率
而由机械转速和电角速度的关系\(\omega _{m}=p*\omega _{me}\)，以及$p=t*\omega $可得转矩方程为

\[T_{mech} =\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )[(L_{d}-L_{q})i_{D}i _{Q}+k_{E}i _{Q}] \]

交直轴电流的关系
利用电磁转矩公式来求出\(i _{q}\)的表达式

\[i_{q} =\frac{T_{e}}{\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )[(L_{d}-L_{q})i_{d}+k_{E}]} \]

再考虑电流限制方程

\[i_{s}^2 =i_{d}^2+i_{q}^2 \]

将$i_{q} $表达式代入电流限制方程，可得

\[i_{s}^2 =i_{d}^2+(\frac{T_{e}}{\frac{3}{2} (\frac{pole}{2} )[(L_{d}-L_{q})i_{d}+k_{E}])})^2 \]

在上式中\(i _{s}\)为\(i _{d}\)的函数，当输出转矩一定时，\(i _{s}\)存在最小值，即\(i _{s}\)对\(i _{d}\)的偏导为0，可求得函数最小值

\[\frac{\partial i_{s}^2 }{\partial i_{d}} =2i_{d} +2i_{q}\frac{T_{e} }{\frac{3}{2}p } \frac{-(L_{d}-L_{q}) }{[k_{E} +(L_{d}-L_{q})i_{d}]^2} \]

\[\frac{\partial i_{s}^2 }{\partial i_{d}} =2i_{d} +2i_{q}\frac{T_{e} }{\frac{3}{2}p[k_{E} +(L_{d}-L_{q})i{d}] } \frac{-(L_{d}-L_{q}) }{[k_{E} +(L_{d}-L_{q})i_{d}]} \]

将\(i{q}\)由转矩表示的表达式代入，上式可化为

\[\frac{\partial i_{s}^2 }{\partial i_{d}} =2i_{d} +2i_{q}^2 \frac{-(L_{d}-L_{q}) }{[k_{E} +(L_{d}-L_{q})i_{d}]} =0 \]

即方程

\[2i_{d} = 2i_{q}^2 \frac{(L_{d}-L_{q}) }{[k_{E} +(L_{d}-L_{q})i_{d}]} \]

可化为

\[i_{d}k_{E}+i_{d}^2(L_{d}-L_{q})=i_{q}^2(L_{d}-L_{q}) \]

将上式中的\(i_{q}\)视为常量，\(i_{d}\)视为变量，若将上式视为关于\(i_{d}\)的一元二次方程，则因为大部分凸极永磁同步电机的\(L_{d}<L_{q}\)，上式图像为开口向下的抛物线，分析可知该抛物线与x轴交点左侧的根为极小值点，即我们需要的最小电流解，而右边的根为极大值点，可舍去，求解该一元二次方程可得

\[i_{d} =-\frac{k_{E} }{2(L_{d}- L_{q})} \pm \sqrt{(\frac{k_{E}}{2(L_{d}- L_{q})} )^2+i_{q}^2} \]

若\(L_{d}<L_{q}\),则当转矩一定时，满足下式时，电流峰值\(i_{s}\)最小

\[i_{d} =-\frac{k_{E} }{2(L_{d}- L_{q})} - \sqrt{(\frac{k_{E}}{2(L_{d}- L_{q})} )^2+i_{q}^2} \]

上式即需要得到每安培最大输出时\(i_{d}和i_{q}\)必须满足的关系