一、定子电流极限圆
永磁同步电机运行时的定子电流应该控制在允许的范围内

i 1 m = ( i d ) 2 + ( i q ) 2 ≤ I l i m
在上式中，定子电流矢量的轨迹可以位于电流极限圆的内部或边界上

二、定子电压极限椭圆
由上一节 电机控制基础(二) 同步电机的DQ0电感分析 所讨论的DQ轴电压公式，并忽略变压器电势项可得到：
u 1 m = ( u d ) 2 + ( u q ) 2 = ( R a i d − ω m e λ q ) 2 + ( R a i q + ω m e λ d ) 2 = ( R a i d − ω m e L q i q ) 2 + ( R a i q + ω m e λ f + ω m e L d i d ) 2

在高速运行下，定子电阻的压降较小，和定子感抗的压降相比可以忽略，忽略上式中定子的电阻压降可得电压椭圆为：
u 1 m = ω m e λ 1 = ω m e ( L q i q ) 2 + ( λ f L d i d ) 2
上式为电机高速运行下定子电压的幅值公式，在上式中，可以看出，在保证定子电流dq分量不变的情况下，随着电动机运行速度的提高，定子电压将会上升，最大达到逆变器输出能力的电压极限
定义凸极率如下
ρ = L q / L q > 1
将电压极限等式两边同除以omega平方和L_q平方,可得
( u 1 m ω L q ) 2 = i q 2 + ( λ f L d + i d ) 2 1 L d 2 1 L q 2

进一步整理可得，
( u 1 m ω L q ) 2 = i q 2 + ( λ f L d + i d ) 2 ρ 2  

由上式可得，在转速恒定时，将方程左边视为一个常数，则定子电流的dq分量在相平面上是一个椭圆，由于凸极率大于1，椭圆在d轴上的焦距大于q轴上的焦距，当凸极率=1时，该椭圆变成了圆形

在某些情况下，为方便，使用电压约束不等式来表示电压极限圆的约束条件如下，本质上和上式是一致的，
( u 1 m ω ) 2 ≥ i q 2 L q 2 + ( λ f + i d L d ) 2

有时，上式中的永磁体磁链lamda_f被表示成反电势系数K_e
由上式求解id，可解得弱磁时的id数值，
i d = ( u 1 l i m i t ω ) 2 − ( L q i q ) 2 L d − k E L d , u 1 l i m i t ω ≥ L q i q