原创 电机控制基础(二) 同步电机的dq0电感分析

• 首先确定磁链电流关系式

\[\begin{bmatrix}\lambda_{a} \\\lambda_{b} \\\lambda_{c} \\\lambda_{d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\iota _{aa} &\iota _{ab} &\iota _{ac} & \iota _{af}\\ \iota _{ba} &\iota _{bb} &\iota _{bc} & \iota _{bf}\\ \iota _{ca} &\iota _{cb} &\iota _{cc} & \iota _{cf}\\ \iota _{fa} &\iota _{fb} &\iota _{fc} & \iota _{ff}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i _{a} \\i _{b} \\i _{c} \\i _{f}\end{bmatrix} \]

其中L_aa为a相定子自感，而Lab为ab相定子互感。

这里为分析方便进行理想化假设:
1)气隙磁导有一个恒定分量和一个随两倍转子角度（电角度）的余弦变化的较小分量，分析时转子角度以直轴为参考
2）气隙磁通中空间谐波的影响忽略不计

设转子的电角度为theta_me（该角度为转子直轴和定子a相轴线间夹角），可以写出各相定子自感如下
$$L_{aa}=L_{al}+L_{a0}+L_{g2}cos2{\theta }_{me}$$
$$L_{aa}=L_{al}+L_{a0}+L_{g2}cos(2{\theta }_{me}+120°)$$
$$L_{aa}=L_{al}+L_{a0}+L_{g2}cos(2{\theta }_{me}-120°)$$

定子相与相之间的互感为
$$L_{ab}=L_{ba}=-\frac{1}{2}{L}_{aa0}+L_{g2}cos(2{\theta }_{me}-120°)$$

$$L_{bc}=L_{cb}=-\frac{1}{2}{L}_{aa0}+L_{g2}cos(2{\theta }_{me})$$

$$L_{ac}=L_{ca}=-\frac{1}{2}{L}_{aa0}+L_{g2}cos(2{\theta }_{me}+120°)$$

而励磁绕组的自感为：
$${\iota }_{ff}=L_{ff}$$

定子与转子之间的互感为：
$${\iota }_{af}=L_{fa}=L_{af}cos{\theta }_{me}$$
$${\iota }_{bf}=L_{fb}=L_{af}cos({\theta }_{me}-120°)$$
$${\iota }_{cf}=L_{fc}=L_{af}cos({\theta }_{me}+120°)$$

其中L_a1为绕组漏感，L_aa0为对应于气隙磁导恒定分量的电感，L_g2为对应于气隙磁导随转子位置角变换分量的电感的幅值，其中电机凸极的影响仅仅体现在L_g2分量带来的影响上，因为转子每旋转180°电角度即可再现此路的最初结构。而且定子的各项自感当转子直轴沿该相的轴线时为最大，而相与相之间的互感当转子直轴沿这两相间的中间位置时为最大。这是可以预期的结果，因为转子直轴为气隙磁通词组最小（磁导最大）路径

接着以dq0坐标来表示磁链
$${\lambda }_d=L_d{i}_d+L_{af}{i}_f$$
$${\lambda }_q=L_q{i}_q$$

$${\lambda }_f=\frac{3}{2}{L}_{af}{i}_d+L_{ff}{i}_f$$

$${\lambda }_0=L_0{i}_0$$

注意，在以上的式中，磁链和电流的关系不再保护随转子位置变换的电感，这一简便性是dq0变换的核心所在

在这些式子中，新的电感项为：
$$L_d=L_{al}+\frac{3}{2}(L_{aa0}+L_{g2})$$
$$L_q=L_{al}+\frac{3}{2}(L_{aa0}-L_{g2})$$
$$L_0=L_{al}$$

以上式中L_d和L_q分别是直轴和交轴同步电感，而电感L_0是零序电感

变换前的电压方程为：
$$V_a=R_a{i}_a+\frac{d{\lambda }_a}{dt}$$
$$V_b=R_b{i}_b+\frac{d{\lambda }_b}{dt}$$
$$V_c=R_c{i}_c+\frac{d{\lambda }_c}{dt}$$
$$V_f=R_f{i}_f+\frac{d{\lambda }_f}{dt}$$

经过变换后可得：
$$V_d=R_a{i}_d+\frac{d{\lambda }_d}{dt}-{\omega }_{me}{\lambda }_q$$
$$V_q=R_a{i}_q+\frac{d{\lambda }_q}{dt}+{\omega }_{me}{\lambda }_d$$
$$V_f=R_f{i}_f+\frac{d{\lambda }_f}{dt}$$
$$V_0=R_a{i}_0+\frac{d{\lambda }_0}{dt}$$

式用的$${\omega }_{me}=\frac{d{\theta }_{me}}{dt}$$ 为转子电角速度

在上式中，$${\omega }_{me}{\lambda }_q和{\omega }_{me}{\lambda }_d称为速度电势项$$
$$\frac{d{\lambda }_d}{dt}和\frac{d{\lambda }_q}{dt}称为变压器电势项$$

在计算中通常可以省略变压器电势项，相当于忽略定子电压和电流瞬时解的谐波和直流分量

在dq0变换的求解当中，用到的方程组为dq磁链电流方程，dq电压方程及dq变换方程

考虑功率和转矩的表达式，进入三相定子的瞬时功率为
$$p_s=v_a{i}_a+v_b{i}_b+v_c{i}_c$$
采用dq0变换并消除各相变量后可得
$$p_s=\frac{3}{2}(v_d{i}_d+v_q{i}_q+2v_0{i}_0)$$
输出功率对应于速度电势除以转轴速度（以机械弧度每秒为单位），但在化简时我们采用以电弧度每秒为单位，由以上功率等式可得
$$T_{mesh}=\frac{3}{2}(\frac{pole}{2})({\lambda }_d{i}_q-{\lambda }_q{i}_d)$$

由上式可知，直轴磁通与交轴磁势相互作用产生转矩，交轴磁通与直轴磁势相互作用产生转矩，磁通与其相互作用的磁势相夹90°电角度，因此交互作用角的正弦为1