海明码的编码和校验方法 [自存]

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以1010110为例

编码

1. 确定校验码的位数 \(x\):

   设数据有 \(n\) 位，校验码有 \(x\) 位，则校验码一共有 \(2^x\) 种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确 (含 \(n\) 位数据和 \(x\) 位校验码)，剩下 \(2^x-1\) 种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有 \(n+x\) 位，因此 \(x\) 应该满足

   \[2^x-1 \geqslant n + x \]

   使不等式成立的 \(x\) 的最小值就是校验码的位数。在本例中，\(n=7\)，解得 \(x=4\)

2. 确定校验码的位置:

   校验码在二进制串中的位置为2的整数幂，剩下的位置为数据

   位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
   内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

3. 求出校验位的值:

   以求 x2 为例，把位置用二进制表示。为了求出 x2，要使所有位置的第二位是1的数据（即形如 **1* 的位置的数据）的异或值为 \(0\)

   位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
   内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

   即 x2^1^1^0^1^0 = 0。因此 x2 = 1

校验

假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为:

将所有位置形如 ***1, **1*, *1**, 1*** 的数据分别异或:

​ ***1: 0^1^0^0^1^1 = 1

​ **1*: 1^1^1^0^1^1 = 1

​ *1**: 1^0^1^0 = 0

​ 1***: 0^1^1^1 = 1

以上四组中，如果一组异或值为1，说明该组中有数据出错了。***1 **1* 1*** 的异或都为1，说明出错据的位置为1011