CF1404D - Game of Pairs

CF1404D - Game of Pairs

题目大意

两个人Van游戏，

第一个人对于\(1,2,\cdots,2n\)分成\(n\)组

第二个人尝试从每组中选一个数，使得选出数的和是\(2n\)的倍数

你选一个人Van，然后赢了交互器

分析

考虑从一个\(\mathbb{Naive}\)的构造开始：

分成\(n\)组，每组都是\((i,n+i)\)

为什么这么构造？因为每组两个数\(\mod n\)都相同

那么最终选出的和\(Sum\mod n=\frac{n(n+1)}{2}\)

观察到，在\(n\)为偶数时，\(Sum \mod n=\frac{n}{2}\ne 0\)，此时必然无解

然后我没过脑子随机化艹出了n为奇数的方案，但是没事下面有确定解法

而\(n\)为奇数时，我们只需要类似找到一组\(\mod n=0,1,2,\cdots ,n-1\)的方案

此时必然满足\(Sum\mod n=0\)

这只需要对于给出的每组\((a_i,b_i)\)，对于\(a_i\mod n,b_i\mod n\)连一条边

然后在最终的置换环上进行决策即可

然而我们需要\(Sum\mod 2n=0\)

又\(\frac{(2n+1)2n}{2}=n(2n+1)\mod 2n=n\)，故如果找到的\(Sum\mod 2n=n\)，取当前方案的补集即可