矩阵行列式

矩阵行列式

对于一个\(n\)行\(n\)列的矩阵\(A\)，有矩阵的行列式(常用\(\det(A),|A|\))表示

行列式的意义

如果将矩阵的每一行视为一个\(n\)维向量，则\(n\)阶行列式的意义可以看做是:

有向长度/面积/体积在\(n\)为空间下的扩展

具体的例子

\(n=1\)时，\(|A|=A_{1,1}\)，即有向长度

\(n=2\)时，\(|A|=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}=\vec{A_1}\times \vec{A_2}\)

因此也可以得到常用的一个3维向量外积的表达式

\(\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{x}\ \ \vec{y}\ \ \vec{z} \\ a_1\ a_2\ a_3\\ b_1\ b_2\ b_3\end{vmatrix}\)

其中\(\vec{x},\vec{y},\vec{z}\)是三维平面的三个维度的单位向量

上式即将有向体积中的一个向量改为单位向量后压缩到一个平面上

\[\ \]

最基本的求法：

枚举\(1,2,\cdots,n\)的一个排列\(p_i\)，设排列\(p\)的逆序对为\(f(p)\)

则\(\begin{aligned} |A|=\sum (-1)^{f(p)} \Pi A_{i,p_i}\end{aligned}\)

\[\ \]

矩阵行列式的性质：

1.交换任意两行(列)得到矩阵\(A'\)，则\(|A'|=-|A|\) (交换后每个排列\(f(p)\)的奇偶性改变)

2.对于某一行(列)乘上一个值\(k\)得到矩阵\(A'\)，则\(|A'|=k|A|\)

3.某一行减去另一行的\(k\)倍得到矩阵\(A'\)，则\(|A'|=|A|\)

根据性质得到的快速求法

根据性质1,2,3可以对于矩阵进行高斯消元

而对于一个上三角/下三角矩阵，带入上面的基本求法，显然能够得到非0值的排列只有对角线\(p_i=i\)

因此得到上/下三角矩阵之后就可以快速求解,复杂度为高斯消元的\(O(n^3)\)