单位根反演

单位根反演

最基础的用途是用于FFT中点值式转多项式

即对于\(G(i)=F(\omega_n^i)\)，由\(G(i)\)反演得到\([x^i]F(i)\)的过程，称之为单位根反演

式子非常简单

\(\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{ij}= \left\{\begin{aligned} \frac{\omega_n^{in}-1}{\omega_n^i-1}=0 && i\ne 0\\ n && i=0\end{aligned} \right.\)

更简洁的式子为\(\begin{aligned}\frac{\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{ij}}{n}=[n|i]\end{aligned}\)

在生成函数的化简与构造中，常用于解决\(\mod n=0\)的限制

如\(\sum_{n|i}\frac{x^i}{i!}\)

通过单位根反演转化为

$ \begin{aligned}\sum_{n|i}\frac{x^{i}{i!}=\sum_{i=0}}\frac{\sum_{j=0}^{{n-1}\omega_n}{ij}}{n} \cdot \frac{x^{i}{i!}=\sum_{i=0}}\sum_{j=0}^{n-1} \frac{(x\omega_n^j)i}{i!}=\sum_{j=0}^{n-1}e\end{aligned}$

作为无穷级数压缩的一种方法

但是单位根反演转化有一个非常明显的局限，就是在模意义下，\(n\)阶单位根很可能无法求解

现在笔者还不会求模意义下特定的\(n\)阶单位根。。。