组合数公式

组合数公式

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组合数\(\displaystyle C(n,m)=C_n^m=\binom{n}{m}\)

递推式

\[C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) \]

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组合数完全累和

\[\displaystyle \sum_{i=0}^n C(n,i) =2^n \]

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奇偶累和

\[\displaystyle \sum_0^n (-1)^i C(n,i)=[n=0] \]

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$\sum\cdots\sum \rightarrow C() $型

我们熟知的有

\[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}1=n = C(n,1) \]

\[\displaystyle\sum _{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} 1= \frac{n(n-1)}{2} \]

更一般的

\[\displaystyle\underbrace {\sum \sum ... \sum} 1 =C(n,k) \]

\[(k个\sum) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

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$ ... \ \cdot C(n,i)$型

$\displaystyle \sum i \cdot C(n,i) $

\(\displaystyle = \sum {i \cdot \frac{n!}{i! \cdot (n-i)!}}\)

\(\displaystyle = \sum { \frac{n!}{(i-1)! \cdot (n-i)!}}\)

\(\displaystyle=\sum {n \cdot \frac {(n-1)!} {(i-1)! \cdot (n-i)!}}\)

\(\displaystyle=n\cdot \sum C(n-1,i-1)\)

同理的

\[\sum i\cdot (i-1)\cdot C(n,i)=n \cdot (n-1) \cdot \sum C(n-2,i-2) \]

带入还能得到

\[\sum i^2 \cdot C(n,i) = n \cdot (n-1) \cdot \sum C(n-2,i-2)+n \cdot \sum C(n-1,i-1) \]

更一般的，可以表示成

\[\sum C(i,k) \cdot C(n,i) =C(n,k) \cdot \sum C(n-k,i-k) \]

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多组合数相乘型

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{k} C(n,i)\cdot C(m,k-i) = C(n+m,k)\)

其实就是两个组合问题的组合，可以直接通过实际意义得到

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Lucas定理

$ C(n,m) \mod p = C(n \mod p,m \mod p) \cdot C(\lfloor\frac{n} {p}\rfloor, \lfloor \frac{m} {p}\rfloor) \mod p$

预处理阶乘逆元后，可以用于解决模数较小而\(n,m\)较大的组合数问题

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前缀和

列

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\)

由递推式\(\displaystyle \binom{i}{m}=\binom{i-1}{m}+\binom{i-1}{m-1}\)容易迭代发现

\[\ \]

行

令 \(S(n,m)=\sum_{i=0}^{m} C(n,i)\)

\(S(n,m)+S(n,m+1)\)

\(=\sum_{i=0}^{m}(C(n,i)+C(n,i+1))+C(n,0)\)

\(=\sum C(n+1,i+1)+C(n,0)\) (带入递推公式)

\(=S(n+1,m+1)\)

又\(\because S(n,m)+S(n,m+1)=2S(n,m+1)-C(n,m+1)\)

\(\therefore S(n,m)=2S(n-1,m)-C(n-1,m)\)

(待补。。。)