浅谈差分约束

差分约束也是个咕了很久的简单玩意。

俺咕诶

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总述

主要思想是转化为图论问题。对于一大堆 \(x - y \leq w\) 求可行解，移个项发现变成了 \(x \leq y + w\) 注意到这玩意很像某松弛操作，于是考虑转化为最短路问题。

回忆最短路进行松弛操作的条件，\(dis_u > dis_v + w\)，那么把咱们的柿子移个项对应一下 \(y \geq x - w\)，于是 \(y\) 作为 \(v\) 向 \(u\)（也就是 \(x\)）连边，跑最短路即可

等于号无所谓，不影响。

总结：

• 对于形如 \(x - y \leq w\) 的不等式，\(y\) 向 \(x\) 连边，跑最短路。

• 无解的条件是图中存在负环。

跑 \(\text{spfa}\) 即可/oh。

咋判环捏？

记录入队次数，如果 \(>n\) 就说明存在负环

为啥是 \(> n\)？

因为 \(\text{SPFA}\) 正常情况下每个点顶多入队 \(n\) 次。至于为啥是 \(n\) 次：你想想为什么 \(\text{spfa}\) 可以被卡到 \(O(nm)\)。每个点全部入队 \(\text{n}\) 次呗。

不等式不长这样咋办？

移项就行了。特殊说一下 \(x + y = w\) 这种：可以拆成 \(x + y \geq w\) 和 \(x + y \leq w\) 两个不等式，于是就解决了。

题

还没做题，做了把代码扔过来，最近任务比较多。