大地经纬度坐标与地心地固坐标的的转换

1. 概述

要解决这个问题首先得理解地球椭球这个概念,这里直接用武汉大学《大地测量学基础》(孔详元、郭际明、刘宗全)的解释吧:

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大地经纬度坐标系是地理坐标系的一种,也就是我们常说的经纬度坐标+高度。经纬度坐标用的虽然多,但是很多人并没有理解经纬度的几何意义:纬度是一种线面角度,是坐标点P的法线与赤道面的夹角(注意这个法线不一定经过球心);经度是面面角,是坐标点P所在的的子午面与本初子午面的夹角。这也是为什么经度范围是-180 ~ +180,纬度范围却是-90 ~ +90:
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地心地固坐标系就是我们常用的笛卡尔空间直角坐标系了。这个坐标系以椭球球心为原点,本初子午面与赤道交线为X轴,赤道面上与X轴正交方向为Y轴,椭球的旋转轴(南北极直线)为Z轴。显然,这是个右手坐标系:
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显然,两者都是表达的都是空间中某点P,只不过一个是经纬度坐标(BLH),一个是笛卡尔坐标(XYZ);两者是可以相互转换的。

2. 推导

2.1. BLH->XYZ

将P点所在的子午椭圆放在平面上,以圆心为坐标原点,建立平面直接坐标系:
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对照地心地固坐标系,很容易得出:

\[\begin{cases} Z = y\\ X = x \cdot cosL\\ Y = x \cdot sinL\\ \end{cases} \tag{1} \]

那么,关键问题在于求子午面直角坐标系的x,y。过P点作原椭球的法线Pn,他与子午面直角坐标系X轴的夹角为B;过P点作子午椭圆的切线,它与X轴的夹角为(90°+B):

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图1

根据椭圆的方程,位于椭圆的P点满足:

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{1.2} \]

对x求导,有:

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x}{y} \tag{2} \]

又根据解析几何可知,函数曲线(椭圆)某一点(就是P点)的倒数为该点切线的斜率,也就是正切值:

\[\frac{dy}{dx} = tan(90^o + B) = -cotB \tag{3} \]

联立公式(2)(3),可得:

\[y = x(1-e^2)tanB \tag{4} \]

其中,e为椭圆第一偏心率:

\[e = -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \]

令Pn的距离为N,那么显然有:

\[x = NcosB \tag{4-2} \]

根据(4)式可得:

\[y = N(1-e^2)sinB \tag{4-3} \]

将其带入(1)式,可得到椭球上P点的坐标为:

\[\begin{cases} X = NcosBcosL\\ Y = NcosBsinL\\ Z = N(1-e^2)sinB\\ \end{cases} \tag{5} \]

那么唯一的未知量就是Pn的长度N了,将(4)式带入到椭圆方程式(1.2):

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2(1-e^2)^2tan^2B}{b^2} = 1 \]

化简,得:

\[x = \frac{acosB}{\sqrt{1-e^2sin^2B}} \tag{6} \]

联立式(5)式(6),得:

\[N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2B}} \tag{6} \]

通过式(5)式(6),可以计算椭球上某一点的坐标。但这个点并不是我们真正要求的点,我们要求的点P(B,L,H)是椭球面沿法向量向上H高度的点:
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P点在椭球面上的点为\(P_0\),那么根据矢量相加的性质,有:

\[P = P_0 + H \cdot n \tag{6} \]

其中,\(P_0\)也就是式(5),而n是\(P_0\)在椭球面的法线单位矢量。

矢量在任意位置的方向都是一样的,那么我们可以假设存在一个单位球(球的半径为单位1),将法线单位矢量移动到球心位置,可得法线单位矢量为:

\[n = \left[ \begin{matrix} cosBcosL \\ cosBsinL \\ sinB \\ \end{matrix} \right] \tag{7} \]

因此有:

\[P = \left[ \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} (N+H)cosBcosL \\ (N+H)cosBsinL \\ [N(1-e^2) + H]sinB \\ \end{matrix} \right] \tag{8} \]

其中:

\[N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2B}} \tag{9} \]

2.2. XYZ->BLH

根据式(8),可知:

\[\frac{Y}{X} = \frac{(N+H)cosBsinL}{(N+H)cosBcosL} = tanL \]

因此有:

\[L = arctan(\frac{Y}{X}) \tag{10} \]

不过纬度B就不是那么好算了,首先需要计算法线Pn在赤道两侧的长度。根据图1,有:

\[y = PQsinB \]

与式(4-3)比较可得:

\[PQ = N(1-e^2) \]

显然,由于:

\[Pn = N = PQ + Qn \]

有:

\[Qn = Ne^2 \]

接下来如下图所示,对图1做辅助线:
imglink7

有:

\[\begin{cases} PP'' = Z\\ OP'' = \sqrt{x^2+y^2}\\ PP''' = OK_p = QK_psinB = Ne^2sinB\\ P''P''' = PP''' + PP'' \end{cases} \]

因而可得:

\[tanB = \frac{Z+Ne^2sinB}{\sqrt{x^2+y^2}} \tag{11} \]

这个式子两边都有待定量B,需要用迭代法进行求值。具体可参看代码实现,初始的待定值可取\(tanB = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

大地纬度B已知,那么求高度H就非常简单了,直接根据式(8)中的第三式逆推可得:

\[H = \frac{Z}{sinB} - N(1-e^2) \tag{12} \]

汇总三式,可得:

\[\begin{cases} L = arctan(\frac{Y}{X})\\ tanB = \frac{Z+Ne^2sinB}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ H = \frac{Z}{sinB} - N(1-e^2)\\ \end{cases} \]

3. 实现

根据前面的推导过程,具体的C/C++代码实现如下:

#include <iostream>

using namespace std;

const double epsilon = 0.000000000000001;
const double pi = 3.14159265358979323846;
const double d2r = pi / 180;
const double r2d = 180 / pi;

const double a = 6378137.0;		//椭球长半轴
const double f_inverse = 298.257223563;			//扁率倒数
const double b = a - a / f_inverse;
//const double b = 6356752.314245;			//椭球短半轴

const double e = sqrt(a * a - b * b) / a;

void Blh2Xyz(double &x, double &y, double &z)
{
	double L = x * d2r;
	double B = y * d2r;
	double H = z;

	double N = a / sqrt(1 - e * e * sin(B) * sin(B));
	x = (N + H) * cos(B) * cos(L);
	y = (N + H) * cos(B) * sin(L);
	z = (N * (1 - e * e) + H) * sin(B);
}

void Xyz2Blh(double &x, double &y, double &z)
{
	double tmpX =  x;
	double temY = y ;
	double temZ = z;

	double curB = 0;
	double N = 0; 
	double calB = atan2(temZ, sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY)); 
	
	int counter = 0;
	while (abs(curB - calB) * r2d > epsilon  && counter < 25)
	{
		curB = calB;
		N = a / sqrt(1 - e * e * sin(curB) * sin(curB));
		calB = atan2(temZ + N * e * e * sin(curB), sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY));
		counter++;	
	} 	   
	
	x = atan2(temY, tmpX) * r2d;
	y = curB * r2d;
	z = temZ / sin(curB) - N * (1 - e * e);	
}

int main()
{
	double x = 113.6;
	double y = 38.8;
	double z = 100;	   
	   
	printf("原大地经纬度坐标:%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
	Blh2Xyz(x, y, z);

	printf("地心地固直角坐标:%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
	Xyz2Blh(x, y, z);
	printf("转回大地经纬度坐标:%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);	 
}

其最关键的还是计算大地纬度B时的迭代过程,其余的计算都只是套公式。数值计算中的很多算法都是采用迭代趋近的方法来趋近一个最佳解。最后的运行结果如下:
imglink8

4. 参考

  1. 大地坐标与地心坐标相互转换
  2. World Geodetic System 1984 (WGS84)
posted @ 2021-08-29 14:08  charlee44  阅读(4635)  评论(0编辑  收藏  举报