立体几何

依旧有点烂尾。

本文可能使用不标准的写法（如 \(A,B\in a\)），使用时会尽量保证没有歧义。

简单基础知识

没啥东西，可以跳过。

普通计算

平面对象线段、角的计算需要在平面内实现，所以需要将已知逐渐转化到所求平面，然后即可使用平面几何方法求解。

比如空间内线段长度可能通过多轮勾股求出，角则可能通过解三角形。

公理

……

基本位置关系

线线

两条直线之间的位置关系有

• 共面直线
  • 相交直线
  • 平行直线
• 异面直线

证明两条直线相交，显然只需构造交点。

证明两条直线 \(a,b\) 平行，则有如下几种方法

• 传递性 \(a\parallel c,b\parallel c\Rightarrow a\parallel b\)
• 线面平行性质 \(a\parallel \alpha,a\subset \beta,\alpha\cap \beta=b\Rightarrow a\parallel b\)
  Fig. \((1)\)
• 面面平行性质 \(\alpha\parallel \beta,\gamma\cap \alpha=a,\gamma\cap \beta=b\Rightarrow a\parallel b\)
  Fig. \((2)\)
• 线面垂直性质 \(a\perp \alpha,b\perp \alpha\Rightarrow a\parallel b\)。

证明直线共面只需证明相交或平行。

证明直线异面则需要注意。对于直线 \(a,b\)，\(a\subset \alpha,\alpha\cap b=P,P\notin a\)。假设 \(a,b\) 共面 \(\beta\) 即 \(a\subset \beta,b\subset \beta\)，那么

\[\alpha\cap b=P,b\subset \beta\Rightarrow P\in \beta\\ a\subset \beta,P\in \beta,P\notin a\Rightarrow \alpha=\beta\\ \alpha=\beta\leftrightarrow \alpha\cap b=P,b\subset \beta \]

矛盾。Fig. \((3)\)

上述建议画图理解并做题加深印象。

注意，说「两条直线」时，默认二者不重合。「两个平面 / 点」同理。

线面

线面位置关系

• 直线在平面内
• 直线与平面相交
• 直线与平面平行

直线在平面内使用两点确定 \(A,B\in \alpha,\;A,B\in a\Rightarrow a\subset \alpha\)。

直线与平面相交直接构造 \(a\cap \alpha=P\)。

直线与平面平行，使用线线平行证明 \(a\not\subset \alpha,b\subset \alpha,a\parallel b\Rightarrow a\parallel \alpha\)。
Fig. \((4)\)

面面

面面平行，使用两条直线确定 \(a\subset \beta,b\subset \beta,a\cap b=P,a\parallel \alpha,b\parallel \alpha\Rightarrow \alpha\parallel \beta\)。\(a\subset \beta,b\subset \beta\) 在直接通过 \(a,b\) 构造平面时可以不写。
Fig. \((5)\)

注意 不可以直接使用两组相交线分别平行，使用需要分步写过程，看情况。

关于传递

直线和平面的平行传递性可以直接使用，只需注意不要重合。

但是平面和直线之间的平行不可以随意传递，最好严谨证明。

脑子里可以知道直线平面之间可以传递一次。

垂直

首先定义异面直线 \(a,b\) 的夹角。取 \(a\) 上任意一点 \(P\) 并过 \(P\) 作 \(b\) 的平行线 \(c\)。平面内 \(a,c\) 的夹角即为 \(a,b\) 夹角。不难发现这个定义是自洽的。

这部分还没细看书，要看看书上的证明。

线线垂直

• 夹角为 \(\pi/2\)

线面垂直

• 线面垂直判定 \(a\perp b,a\perp c,b\cap c=P,b\subset\alpha,c\subset\alpha\Rightarrow a\perp \alpha\)
• 面面垂直性质 \(\alpha\perp \beta,\alpha\cap\beta =l,a\subset\beta,a\perp l\Rightarrow a\perp \alpha\)

线面垂直性质：\(a\perp \alpha,b\perp \alpha\Rightarrow a\parallel b\)。

面面垂直

• 二面角定义 \(\angle AOB=\pi/2\Rightarrow \alpha\perp\beta\)
• 线面垂直性质 \(a\perp\alpha,a\subset \beta\Rightarrow \alpha\perp\beta\)

有趣的结论

我们发现可以使用法向量描述平面的方向，用方向向量描述直线的方向，于是可以得到两组关系：

• 面面平行，线面垂直：二对象向量共线
• 线面平行，面面垂直：二对象向量垂直

向量共线和垂直的自由度不同，所以导致对应描述的关系中两个对象的自由度不同。同时证明的条件所需数量也不同：向量共线组需要的条件更多，向量垂直则更少。

一些技巧

如何找出截面。找出一个平面在几何体内的截面，本质上就是求出平面与几何体各面的交线。

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如何做题

准备好起飞。

平行、垂直

线面平行通过线线平行证，\(\parallel,\subset,\not\subset\Rightarrow\parallel\)。

线线平行一般在几何体或平面图形中，如棱柱侧棱、中位线、平行四边形。

线线平行的证明则通过线面 / 面面平行，用面截得。

线面平行也可以使用面面平行证明，用于对应的平行线难以找到时。

面面平行必须用两个线面平行。

线面 / 面面垂直按照判定定理。同理线线垂直也可以使用线面垂直证明。

夹角

线线角需要使用平行转移，然后使用解三角形。选择的平行线关系到求解难度。

线面角，垂线，垂足与交点连线（射影）。射影与原直线所成夹角。