指数对数纯糖

曾有一段时间我不会对数，对数有任何道理吗？

有。我们知道对于一个固定的数 \(a\)，如果他加 \(x\) 次可以得到 \(y\)，那么 \(y=ax\implies x=y/a\)。

同样的，如果 \(y=a^x\)，那么 \(x=\log_a y\)。我们使用正实数 \(a\) 来度量任意正实数，通过幂次度量。

目前为止，我们只使用了一个底数。如果换别的底数怎么办？假设 \(y=a^x\)，那么已知 \(b,\,y=b^z\)，如何求 \(z\)？

想想除法。

\[y=ax=b\times\left(\cfrac{a}{b}\times x\right)=bz\\ z=\frac{a}{b}\times x=\frac{a}{b}\times \frac{y}{a} \]

同理

\[y=a^x=b^{(\log_ba)x}=b^z\\ z=(\log_ba)x=(\log_ba)(\log_ay) \]

所以我们得到了一个伟大的公式——换底公式

\[\log_by=(\log_ba)\color{red}\times\color{none}(\log_ay) \]

虽然绝大多数情况下他都以除过去的形式出现。组合意义就是先用 \(b\) 度量 \(a\)，再用 \(a\) 度量 \(y\)，二者结合。

对比一下，是不是跟

\[\frac{y}{b}=\frac{a}{b}\times\frac{y}{a} \]

很像？意义是一样的。

但是，为什么都是乘号（红色）呢？指数对数不是明明高上一级吗？

你说得对，这是由结合律导致的。

\[(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\\ (a^b)^c=a^{(b\times c)}\ne a^{(b^c)} \]

发现了吗？乘方 \(b,c\) 结合后之间的运算降级为乘法，究其根本是运算的定义。所以本质上是因为乘法和乘方「嵌套」的表达无法类比（或者说一样？）。它们都用乘法表示嵌套，所以相应的除法和 log 也一样。

对数内的乘除和倒数之类的可以由指数直接推，就不赘述了。

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顺带一提，对数的一个经典处理方法是：全部换成同样的底，即统一度量衡。比如全部使用 \(\lg,\ln\) 或 \(2\) 为底等。