函数复合（正弦形曲线）与图像变换

图像变换

从初中开始我们就开始接触函数图像的变换，然而上加下减左加右减似乎并不合直觉。这里我们系统性地探讨函数图像的变换。

对于函数 \(y=f(x)\)，其图像上所有点可表示为 \((f(x),x)\)。我们现在要将函数图像放大 \(k\) 倍，自然新函数图像上的点即为 \((kf(x),kx)\)。

设变换后的图像为 \(y=g(x)\)，我们自然可以得到 \(kf(x)=g(kx)\)，因为上面已经得到了所有在图像上的点。

这里换元，\(x'=kx\)，可得 \(g(x')=kf(x'/k)\)。当然自变量叫什么名字并不重要，所以我们得到了 \(g\) 的解析式。

发现了什么？\(g\) 的解析式中 \(x\) 被除以了 \(k\)。这是为什么呢？

我们称从 \(f\to g\) 的变换是正变换，那么 \(g\) 的解析式需要通过 \(g\to x\) 的反变换，把 \(x\) 变回去，通过 \(f\) 求值，再把 \(y\) 变回来，所以乘变成除了。

之所以出现这种情况主要是符号不够好导致的。如果 \(x,y\) 是对称的而非单向求值就不会这样了（出现 \(x\) 和 \(y\) 的处理方式不同）。

比如对于方程 \(f(x,y)=0\) 的图像，将其放大 \(k\) 倍，那么原本满足方程的 \((x,y)\) 二元组在 \(g\) 中 \((kx,ky)\) 满足。即 \(g(kx,ky)=0\)，不妨构造 \(g(kx,ky)=f(x,y)\)，即可得到 \(g(x',y')=f(x'/k,y'/k)\)。

如果上面的没看懂也没关系。比如平移向右 \(a\) 向上 \(b\)。\(y=f(x)\to y=f(x-a)+b\) 其实本质上是 \(y-b=f(x-a)\iff y'=f(x')\)。所以 \(y-b=y'\) 即 \(y=y'+b\)。\(y\) 是新的坐标，由旧坐标 \(y'\) 向上 \(b\) 得到。

函数复合

我们记 \(f(g(x))=(f\circ g)(x)\)。

有一类题探讨 \(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)\) 的性质，意思不难理解。

这种直接设 \(u(x)=\omega x+\varphi\)，对于 \(f(x)\) 的性质通过 \(\sin u\) 来探讨即可。

对于图像求解析式，极值可以确定 \(A\)，周期可以确定 \(\omega\)，\(f(0)\)（也可以代一些其他点）可以确定 \(\varphi\)，感觉比较宝宝就不写了。