基本更完了，剩下的是不大可能考的。七选五寒假再搞。
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再点一下关上。
得了一种做完一道题过会就会忘记怎么做的病。
公式内容
如果已经掌握教科书内容可以 跳过本部分。
万恶之源
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\]
和差角
\[\begin{aligned}
\cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha\\
\tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\\
\end{aligned}
\]
\(\cos\) 同函数相乘，符号改变；\(\sin\) 异函数相乘，符号不变。
可得倍角
\[\begin{aligned}
\sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\
\cos 2\alpha&=2\cos^2\alpha-1\\&=1-2\sin^2\alpha\\
\tan 2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\\
\end{aligned}
\]
\(\cos\) 倍角公式换元可得半角，相除得到 \(\tan\) 半角
\[\begin{aligned}
\cos\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\\
\sin\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\
\tan\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\
\end{aligned}
\]
符号看具体角范围。注意 终边相同 与 半角终边相同 既不充分也不必要。
和差角发现和、差第二项符号相反，对应的相加减除 \(2\) 得
\[\begin{aligned}
\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\
\sin\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\\
\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\
\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\
\end{aligned}
\]
这叫积化和差。换元，得
\[\begin{aligned}
\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\end{aligned}
\]
如果要化简形式为 \(a\sin\alpha+b\cos\alpha\) 的式子，可以将其看成任意和差角公式，把 \(a,b\) 配成三角函数值，是为辅助角公式。
\[a\sin\alpha+b\cos\alpha=c\sin(x+\varphi),\quad
c=\sqrt{a^2+b^2},\,\cos\varphi=\frac{a}{c},\,\sin\varphi=\frac{b}{c}\\
\]
亦可转为 \(\cos\)，同理。
应用
公式本身都是比较好理解的，那么怎么用呢？
其实我自己都是随机乱做，做不出来就急眼即可。感觉还是要归纳一下一些更 general 的东西。
通分、分数上下同乘这些基本技巧不能忘。
同角基本关系
一般正切难做就转弦，\(\tan=\sin/\cos\) 很好。
\(\sin^2+\cos^2=1\) 在化简的时候可能有用，如果式子出现了这个形式就用一下。不要用 \(\cos=\sqrt{1-\sin^2}\)，不会让问题更简单，看似少了一个函数，实则难以观察结构。
三角换元也会用到，但是比较难了，应该碰不到。如果遇到平方差而非和为 \(1\) 的情况可以考虑用其他函数换，
\[\frac{1}{\cos^2\alpha}-\tan^2\alpha=1
\]
这就不得不提万恶之源了
\[\sin\quad\cos\\
\tan\quad1\quad\cot\\
\sec\quad\csc
\]
有兴趣可以查一下三角函数六边形，人教 B 版数学书也是有的。
和差角与倍角
首先和差角是肯定要记的，个人认为并不难记。倍角用多了也容易记住。
关于使用，除了有很明显的和差形式，化简非特殊角三角函数值也可用到，这个比较容易忘。有的时候要大胆使用，暴力拆除。
从次数来看，如果可以用来将一次转二次，可能有化简效果。
半角
半角不用记，知道这个结构形式（\(1\pm \cos\) 状物，可能有分数之类的）即可，因题制宜。半角本质上是将倍角换元，因此做题时注意结构，可以直接代倍角。具体而言，如果有一个 \(1\) 的系数，可以吸收，同时变成二次。相当于等系数的零次和一次升成二次。
和差化积、积化和差
和差化积、积化和差也不用记，那么多背个蛋，知道有这个东西即可。用得不多，主要是改次数，用时可以现场手推。
本人用得比较少。这个主要也是改次数，一二次互换，因为是和差角推的。
辅助角
辅助角公式主要是理解，熟练之后尽量快。用处是合并同角三角函数值。
常用起手
观察变量间 / 结构性质
原本想分开写的，结果发现二者密不可分。
例 \(\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right),\sin\theta\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\theta\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right),\tan\theta=\_\_\_\_\_\)
题解
看到可疑的 sc=cc，且 \(\theta-\dfrac{\pi}{4},\theta+\dfrac{\pi}{4}\) 差 \(\dfrac{\pi}{2}\)，直接猜到 \(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\) 是假的
\[\begin{aligned}
\sin\theta\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)&=-\cos\theta\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
\tan\theta&=-\tan\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
\tan\theta&=-\frac{\tan\theta-1}{1+\tan\theta}
\end{aligned}
\]
这里果断交叉相除，弦化切，原因是这样全都是正切，包括求的。特殊角果断展开。
解二次方程得 \(\tan\theta=\pm\sqrt{2}-1\)，根据 \(\theta\) 范围得 \(\tan\theta=\sqrt{2}-1\)。
例 \(\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos\alpha=\dfrac{1}{3},\,\cos\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\_\_\_\_\_\)
题解
发现没办法简单组合变量得到答案，条件是三角函数和很奇怪，拆开发现是辅助角
\[\begin{aligned}
\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos\alpha&=\dfrac{1}{3}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}\cos\alpha+\cos\alpha&=\dfrac{1}{3}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha&=\dfrac{1}{3}\\
\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)&=\dfrac{1}{3}\\
\end{aligned}
\]
二倍角秒了
\[\cos\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=1-2\sin^2\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}
\]
例 \(\dfrac{\sqrt{3}-4\sin 20\degree+8\sin^320\degree}{2\sin 20\degree\sin 480\degree}\)
题解
看到二倍角公式
\[\dfrac{\sqrt{3}-4\sin 20\degree\cos 40\degree}{\sqrt{3}\sin 20\degree}
\]
分数不齐次，分子二次加零次，积化和差
\[\dfrac{\sqrt{3}-2(\sin 60\degree−\sin 20\degree)}{\sqrt{3}\sin 20\degree}
\]
刚好消掉常数项
\[\dfrac{2\sin 20\degree}{\sqrt{3}\sin 20\degree}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
\]
拆和差
例 \(\tan\beta=-3\tan\alpha\ne 0,\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=\_\_\_\_\_\)
题解
邪修：特殊值带入，秒了。
想半天性质无果，直接开拆，切化弦。
\[\begin{aligned}
\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}&=-3\times\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\
\sin\beta\cos\alpha&=-3\sin\alpha\cos\beta
\end{aligned}
\]
哦嚯，所求有和角，拆完之后刚好是这两个的线性组合。给出了一个线性关系那答案即可求，为常数。
\[\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha}=\frac{-2\sin\alpha\cos\beta}{4\sin\alpha\cos\beta}=-\frac{1}{2}
\]
那很舒服了。
小练习
题 1 化简 \(\dfrac{1}{\tan\alpha}-\dfrac{1}{\sin\alpha}\)
题解
通分
\[\frac{\cos\alpha-1}{\sin\alpha}
\]
一次项导致分子是零次加一次，换
\[\frac{-2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}
\]
分数不是齐次（分子二次，分母一次），角也不是同一个，正好换分母
\[\frac{2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}{2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\tan\frac{\alpha}{2}
\]
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