初中数学
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九上
二十一章、一元二次方程
定义
形如 \(ax^2+bx+c\;(a\ne 0)\)。
解
- 配方法：
\[\begin{aligned}
ax^2+bx+c&=0\\
x^2+\cfrac{b}{a}x&=-\cfrac{c}{a}\\
x^2+\cfrac{b}{a}x+\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&=-\cfrac{c}{a}+\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\\
\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2&=-\cfrac{4ac}{4a^2}+\cfrac{b^2}{4a^2}\\
x+\cfrac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x&=\pm\cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\cfrac{b}{2a}\\
x&=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\end{aligned}
\]
- 公式法：配方法一般化。
- 因式分解法：分解为形如 \((x-x_1)(x-x_2)=0\) 的形式。
韦达定理
由因式分解法可得：
\[\begin{aligned}
ax^2+bx+c=0&\iff (x-x_1)(x-x_2)=0\\
x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0&\iff x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\\
&\begin{cases}
\cfrac{b}{a}=-(x_1+x_2)\\
\cfrac{c}{a}=x_1x_2
\end{cases}\\
&\begin{cases}
x_1+x_2=\cfrac{b}{a}\\
x_1x_2=\cfrac{c}{a}
\end{cases}
\end{aligned}
\]
二十一章、二次函数
定义
形如 \(y=ax^2+bx+c\)（\(a\ne 0\)，\(a,b,c\) 为常数），即抛物线。
特化
| 类型 | 对称轴 | 顶点 | 增减性 |
|---|---|---|---|
| \(y=ax^2\) | \(y\) 轴（\(x=0\)） | \(O(0,0)\) | \(a>0\)：\(x<0,\searrow\)，\(x>0,\nearrow\)；\(a<0\)：\(x<0,\nearrow\)，\(x>0,\searrow\) |
| \(y=a(x-h)^2+k\) | \(x=h\) | \((h,k)\) | \(a>0\)：\(x<h,\searrow\)，\(x>h,\nearrow\)；\(a<0\)：\(x<h,\nearrow\)，\(x>h,\searrow\) |
| \(y=ax^2+bx+c=a\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2+\cfrac{4ac-b^2}{4a}\) | \(x=-\cfrac{b}{2a}\) | \(\left(-\cfrac{b}{2a},\cfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\) | \(\sim\) |
待定系数
类似一次函数。
\[\begin{cases}
y=ax_1^2+bx_1+c\\
y=ax_2^2+bx_2+c\\
y=ax_3^2+bx_3+c
\end{cases}
\]
与二元一次方程关系
与 \(x\) 轴交点。
二十三章、旋转
定义
一平面内图形绕平面内一点 \(O\) 转动一个角度，叫旋转。
其中，
- 旋转中心：点 \(O\)；
- 旋转角：转动的角度；
- 对应点：旋转前后相对应的点。
性质
- \(OP=OP'\)；
- 旋转角 \(=\angle POP'\)；
- 旋转前后全等。
特化
中心对称即旋转 \(180\degree\)：\(P,P'\) 关于 \(O\)（中心）对称。
- 对称中心：点 \(O\)；
- \(P,P'\) 互为对称点；
- 自身旋转 \(180\degree\) 与自身重合的图形：中心对称图形；
- \(P(x_P,y_P)\) 关于 \((0,0)\) 对称：\(P'(-x_P,-y_P)\)。
*非原点中心对称
对于对称中心为 \(O(x_O,y_O)\) 的中心对称，设 \(P(x_P,y_P)\) 关于 \(O\) 对称的点 \(P'\)，有 \(\Delta x=x_P-x_O,\Delta y=y_P-y_O\)，则 \(P'(x_P-\Delta x,y_P-\Delta y)\) 即 \(P'(2x_O-x_P,2y_O-y_P)\)。
