差分约束

前言

考虑单源最短路的一个性质：

在有向图中，若存在边 \(u\to v\)，边权为 \(w\)，则 \(\mathit{dis}_u+w\ge\mathit{dis}_v\)。

正确性是显然的，因为如果反之 \(\mathit{dis}_u+w<\mathit{dis}_v\)，我们就可以令 \(\mathit{dis}_v\gets\mathit{dis}_u+w\)，原先的就不是最短路了，与题设矛盾。

那么怎么使用这个性质呢？

正文

当题目中出现形如

\(m\) 个限制条件，每个限制条件形如：\(a\ge b,a>b,a\le b,a<b,a=b\)。

时，就可以建图跑最短路。例如 \(a\ge b\) 就让 \(a\) 向 \(b\) 连权为 \(0\) 的边，\(a>b\) 就让 \(a\) 向 \(b\) 连权为 \(1\) 的边（前提是 \(a,b\in \Bbb{Z}\)）。

例题：Luogu P5960 【模板】差分约束

直接连边跑最短路即可。但观察到无法快速确定一个源点，使得从它开始可以遍历到每个点。

Trick \(1\)：可以建立超级源点 \(0\)，让 \(0\) 向每一个点连边。如果怕被队列优化 Bellman-Ford 被卡还可以 random_shuffle() 一下 \(0\) 的出边。

例题：Luogu P1993 小 K 的农场

同理，但只需要判负环即可。直接上队列优化 Bellman-Ford。

例题：Luogu P3275 [SCOI2011] 糖果

（笔者由于懒，还未 AC 此题。不保证下面的话完全正确。）

已经过了。

依然考虑差分约束。但本题可以把队列优化 Bellman-Ford 卡爆！怎么办？

两种方案：

Trick \(2\)：变正权边。

考虑到此题边权仅有 \(\{0,-1\}\)，考虑将边权转为非负。事实上是可行的，只需将 \(-1\to 1\) 即可。

若有限制条件 \(a>b\)，则一般情况下是转化为 \(a-1\ge b\)，从 \(a\to b\) 连边，边权为 \(-1\)。

转化后跑最长路，从 \(b\to a\) 连边，边权为 \(1\)。此时满足条件 \(b+1\le a\)，与原条件等价。这样就转化成了非负权单源最长路。

笔者试图使用 dijkstra 水过，但各 T（很神奇地被卡了），M（判不了正环） 了一个点。不知道有没有大佬知道解决方案。

Trick \(3\)：配合 Tarjan 缩点。

以下题解使用了 Trick \(2\)，当然不用应该也可以做。

先缩点，每个 SCC 内部如果出现了一条 \(u\) 到 \(v\) 的边权为 \(1\)，根据 SCC 的定义，一定还存在一条 \(v\) 到 \(u\) 的路径，由于边权 \(\ge 0\)，所以一定会出现一个正权环，则这个差分约束系统无解。

否则的话，发现 SCC 内部变量取值一定是相同的，那么问题变成了一个 DAG 上最长路，拓扑排序即可。

——来自该题题解

就很强。

然后笔者一顿乱搞，用 Trick \(1\)+Trick \(2\)+Trick \(3\)+Dijkstra 把这题过了。

可能以后还会更新。