网络流
最大流
知识点
定义：
- 网络：边有容量的有向连通图，其中只有一个点入度为 \(0\)，一个点出度为 \(0\)。
- 原点：入度为 \(0\) 的点，记作 \(s\)。
- 汇点：出度为 \(0\) 的点，记作 \(t\)。
- 流量：记作 \(f(u,v)\)。
- 容量：通过一条边流量的上界，记作 \(c(u,v)\)，即 \(f(u,v)\le c(u,v)\)。
- 残量：还可经过一条边的流量，即 \(g(u,v)=c(u,v)-f(u,v)\)。
- 最大流：单位时间经过汇点的最大流量。
性质：
- 流量守恒：\(\sum \limits_v f(v,u)=\sum \limits_v f(u,v)\)。
- 反对称性：\(f(u,v)=-f(v,u)\)。
Ford–Fulkerson 增广
如果存在一条 \(s\to t\) 的路径，使得每一条路径上的边 \((u,v)\) 都有 \(g(u,v)>0\)，则称这样的路径为「增广路」。如果原图存在增广路，则一定可以使当前答案增加，因为路径上每条边的 \(f(u,v)\) 都可以加上 \(g(u,v)\) 的最小值；换句话，当前答案为最大流仅当不存在一条增广路。
因为具有后效性，所以为了「反悔」，对于边 \((u,v,c)\) 建立反向边 \((v,u,0)\)。用到反对称性，所以可以知道 \(g(v,u)=f(u,v)\)，\(f(v,u)\) 是负数只是为了让 \(g(v,u)>0\) 从而实现反悔。
Edmonds–Karp 算法
每次从 \(s\) 开始 bfs 找 \(s\to t\) 的增广路 \(G\)，同时求出 \(x=\min\limits_{(u,v)\in G}g(u,v)\)。然后将这条路上的残量进行更新，同时需要更新反向边的残量。当找不到增广路时停止。
因为一般图不选择这种做法，所以时间复杂度就不分析了，反正是 \(O(nm^2)\)。
Dinic 算法
我不会。
SAP 算法
主要思想是对原图进行「分层」。
对于 EK 算法，时间复杂度瓶颈在于每次都要重头去找增广路，而无法进行回溯。
所以我们从 \(t\) 开始 bfs，用 \(dis_u\) 表示 \(u\) 到 \(t\) 的最短距离。所以这样就将 \(dis\) 相同的分在了同一层。
求增广路采取深搜，记录当前点的入流量 \(in\)，返回的是这个点的出流量 \(out\)。限制一个点只能去向下一层，即经过 \((u,v)\) 的条件仅当 \(g(u,v)>0\) 且 \(dis_u=dis_v-1\)。如果一个点出流量小于入流量\(^{1}\)，那么它就要上一层，因为对于这个点来说，它下一层的点肯定已经满流了，只能上一层去分流。所以让 \(dis_u=dis_u+1\)。在深搜的过程中就已经将残量更新，当到 \(t\) 的时候，说明已经找到增广路。
在枚举边的时候，如果出流量已经等于入流量或者已经找不到增广路，便可以停止。
常见优化有两个。一个是用 \(cnt\) 数组记录第 \(i\) 层的点数，那么如果存在断层即 \(cnt_i=0\) 或者 \(dis_s\ge n\)，肯定是找不出增广路了的。其次是用当前弧优化，避免多次重复走一条无用边，然后在 \(dis\) 标记更改时重新复原。
建模
拆点
将经过一条点的次数限制转化成拆成两个点用容量进行限制。
首先显然网络流无法处理轮数，所以考虑直接二分答案 \(x\)。
很显然应该想到男孩看做点，女孩也看做点。考虑 \(k\) 的限制。相当于将男孩和女孩拆成 \(2\) 个点。\(u\to u'\) 走这条边就表示和不喜欢的跳舞，容量设为 \(k\)。那么对于男孩 \(i\) 和女孩 \(j\)，如果 \(i\) 喜欢 \(j\)，那么 \(i\) 直接连向 \(j'\)，容量 \(\inf\)；如果不喜欢，那么应该是 \(i'\) 连向 \(j\)。
原点分别连向 \(i\) 容量为 \(x\) 的边，\(j'\) 分别连向汇点容量为 \(x\) 的边，答案可行仅当满流。
行列
将行列互有影响的问题转换成最大流模型。
判断是否存在一个 \(n\times m\) 的矩阵，使得第 \(i\) 行的和为 \(h_i\)，第 \(j\) 列的和为 \(g_i\)，且数字大小在 \([0,x]\) 范围内。
考虑进行建模。开 \(n+m\) 个点表示行和列，原点向行 \(i\) 连容量为 \(h_i\) 的边，相当于限制这一行的和为 \(h_i\)；列 \(j\) 向汇点连容量为 \(g_j\) 的边，相当于限制这一列的和为 \(g_j\)。考虑行和列的关系，\((i,j)\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数 \(y(\le x)\)，相当于表示行 \(i\) 和列 \(j\) 有容量为 \(x\) 的边。那么如果能满流，也就表示有解。
如果限制为 \([l,r]\)，因为 \((i,j)\) 的流量相当于第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数，是 \([0,x]\) 范围的，所以考虑将原问题每个数减去 \(l\)。
交换
处理可交换问题。
有 \(n\) 个人，\(1\) 号可以拿自己的邮票跟其他人换，但对于被换人来说，拿出去的邮票必须有多张且拿到的邮票是自己没有的。问 \(1\) 号最多有几种邮票。
考虑对于邮票和人开点。首先如果 \(1\) 号有第 \(i\) 种邮票 \(s_i\) 张，那么源点向 \(i\) 连容量为 \(s_i\) 的边；每种邮票所对应的点向汇点连容量为 \(1\) 的边，统计答案。
对于第 \(k\) 个人，如果他有第 \(i\) 种邮票 \(j\) 张，如果 \(j=0\)，那么 \(j\) 向 \(k\) 连容量为 \(1\) 的边，表示可以给他一张；如果 \(j>1\)，那么 \(k\) 向 \(j\) 连容量为 \(j-1\) 的边，表示他可以给出这么多张。具体分配交给最大流自己搞。
最小割
知识点
- 割：将网络中的点分成两个集合 \(S\) 和 \(T\)，其中源点 \(s\in S\)，汇点 \(t\in T\)。记为 \(\text{CUT}(S,T)\)。\(\text{CUT}(S,T)\) 必须满足对于 \(i\in S\)，\(s\) 必须可达 \(i\)（即在残量网络中，存在一条 \(s\) 到 \(i\) 且每条边的残量 \(>0\) 的路径），对于 \(i\in T\)，\(i\) 必须可达 \(t\)。
- 割边：如果边 \((u,v)\) 满足两个点属于不同的集合，则这条边为割边。
- 正向割边：满足 \(u\in S\)，\(v\in T\)。
- 逆向割边：满足 \(u\in T\)，\(v\in S\)。
- 割的容量：所有正向割边容量之和。
最大流最小割定理
- 定理一：如果 \(f\) 是网络中从源点到汇点的一个流，\(\text{CUT}(S,T)\) 是任意一个割，那么 \(f\) 的值等于正向割边的流量与逆向割边的流量之差。
- 证明：由于 \(s\in S\)，\(t\in T\)。所以对于正向割边的流量就是 \(s\) 流向 \(t\) 的流量，反之是 \(t\) 流向 \(s\) 的流量。
- 推论一：如果 \(f\) 是网络中从源点到汇点的一个流，\(\text{CUT}(S,T)\) 是一个割，那么 \(f\) 的值不超过割 \(\text{CUT}(S,T)\) 的容量。
- 证明：用 \(f(u,v)\) 表示正向割边的流量，\(g(u,v)\) 表示正向割边的容量，\(f=f(u,v)-f(v,u)\le f(u,v)\le g(u,v)\)。
- 推论二：网络中的最大流不超过任何割的容量。
- 证明：同理。
- 定理二：在任何网络中，如果 \(f\) 是从源点到汇点一个流，\(\text{CUT}(S,T)\) 是一个割，且 \(f\) 的值等于割 \(\text{CUT}(S,T)\) 的容量，那么 \(f\) 是一个最大流，\(\text{CUT}(S,T)\) 是一个最小割（容量最小的割）。
- 用推论二可证明。
- 最大流最小割定理：在任何的网络中，最大流的值等于最小割的容量。
- 证明：因为是最大流，所以原图不存在增广路。又因为割要求可达，所以对于每一条正向割边一定满流，反向割边流量一定为 \(0\)。如果正向割边残量不为 \(0\)，那么就会形成一条增广路；如果反向割边流量不为 \(0\)，那么根据反对称性，该边的反向边残量不为 \(0\)，所以也会形成一条增广路。
割边相关
- 求出最小割上的边：跑完最大流后，在残量网络上根据割的定义求出 \(S\) 集合。如果 \(|S|+|T|\ne N\)，则该图有多个最小割。
- 关键割边：增加该边容量会使最大流增大。\(u\in S\) 且 \(v\in T\)。
建模
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割 <-> 离散的问题强制分成两类。
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将代价转换为容量。消耗对应代价等价于切断该边。特别地，如果边权为 \(\infty\)，表示这条边不能作为正向割边。
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网格图上染色是常见模型（可以多色），进而让不合法的状态变成原点到汇点的一条路径，然后最优解即为最小割。
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很有哲理的一张图\(^2\)。可以计算 \(1,2\) 在同一集合的额外贡献。容量为无穷使得最小割能自行抉择。
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[HNOI2013] 切糕，用到上面类似的。如果没有 \(D\) 的限制，那么相当于有 \(P\times Q\) 条长为 \(R\) 的链，原点连向链头，链尾连向汇点，第 \(i\) 条边容量即为 \(v(P,Q,i)\) 。考虑加上 \(D\)，如图
-
假如说 \(D=1\)，发现如果 \((2,3)\) 这条边被割了，因为 \((2,4)\) 不能割，那么肯定不会去割 \((0,4)\)，否则还需要割 \((4,5)\) 才能把图分成两个集合。
更一般的情况
考虑切糕模型，有 \(m\) 条链，每条链上有 \(n+1\) 个点，考虑映射到有 \(m\) 个数，每个数 \(\in[1,n]\)。然后 \((x_{i,j-1},x_{i,j},w(i,j))\) 就表示第 \(i\) 个数选择 \(j\) 的代价，为了避免第 \(i\) 个数取多个值，可以通过加入 \((x_{i,j},x_{i,j-1},\inf)\) 来实现。
然后考虑一条边 \((x_{a,i},x_{b,j},f(i,j))\) 表示什么，相当于就是说当第 \(a\) 个数 \(\ge i+1\)，第 \(b\) 个数 \(\le j\) 时会有 \(f(i,j)\) 的代价，一般需要钦定 \(i\) 和 \(j\) 的大小关系，否则会算重。
假设 \(i\ge j\)，现在我们需要的是当第 \(a\) 个数 \(=i+1\) 且第 \(b\) 个数 \(=j\) 的代价，假设我们要让它为 \(g(i,j)\)，容易发现 \(g(i,j)=\displaystyle \sum_{j\le y\le x\le i}f(x,y)\)。然后就可以得到 \(f(i,i)=g(i,i)\)，\(f(i,j)=g(i,j)-g(i-1,j)-g(i,j+1)+g(i-1,j+1)\)。
所以当 \(f(i,j)\ge 0\)，即 \(g\) 满足四边形不等式就可以用这种建模。
最大权闭合子图
- 闭合子图（有向图）：如果 \(\forall u\in S\)，对于 \(u\) 的每一个出边 \((u,v)\)，都有 \(v\in S\)，则称 \(S\) 是一个闭合子图。
- 最大权闭合子图：对于 \(u\) 有点权 \(a_u\)，满足 \(\sum\limits_{u\in S}a_u\) 最大的 \(S\) 称为最大权闭合子图。
定理
构图：原点 \(s\) 向 \(a_u>0\) 的 \(u\) 连容量为 \(a_u\) 的边，\(a_u<0\) 的 \(u\) 向汇点 \(t\) 连容量为 \(-a_u\) 的边，原图上如果存在 \((u,v)\)，那么在 \(u,v\) 之间连边权为 \(\inf\) 的边。
定理：最大权 \(=\) 所有正点权之和 \(-\) 最小割。
证明：对于原图上的边，因为容量为 \(\inf\)，所以不能被割掉。对于 \((s,u)\)，割掉意味着不选这个点，因为 \(a_u>0\)，所以尽量让和最小；对于 \((u,t)\)，割掉意味着选这个点，因为 \(a_u<0\)，所以尽量让 \(-a_u\) 和最小。发现这是最小割，证毕。
全局最小割 Stoer-Wagner
Minimum Steiner Cut。
\(O(\log^3 n)\) 次最大流。
费用流
流程
最大流的基础上，每条边多了一个费用 \(c(u,v)\)。要求最大流的前提下费用最小。类似于反对称性，有 \(c(v,u)=-c(u,v)\)。
于是有贪心做法，每次选费用最小的增广路进行增广。新增的代价为 \(\sum c\times \min g\)。
EK+SPFA 即可。
例题&建模
直接考虑第二问，发现只需要在残量网络上，对于原有的边 \((u,v)\) 新增一条容量 \(\inf\) 费用 \(w(u,v)\) 的边，然后进入 \(s\) 的流量为 \(k\) 即可。
令盘子为餐巾。
因为每天有脏盘子和新盘子两种情况，所以拆成两个点 \(i\) 和 \(i'\)。\(s\) 向 \(i\) 连 \((r_i,0)\) 的边（分别表示容量和费用），表示经过第 \(i\) 天会得到 \(r_i\) 个脏盘子。\(s\) 向 \(i'\) 连 \((r_i,p)\) 的边，表示买新盘子。\(i'\) 向 \(t\) 连 \((r_i,0)\) 的边，表示第 \(i\) 天需要 \(r_i\) 个新盘子。
由于每天的脏盘子可以继承，所以 \(i\) 向 \(i+1\) 连 \((\inf,0)\) 的边。考虑快洗，即 \(i\) 向 \((i+m)'\) 连 \((\inf,f)\) 的边，表示第 \(i+m\) 天得到这么多新盘子。慢洗同理。
拆边加拆点。
考虑黑白染色。因为考虑转弯与直行，所以将每个点 \(x\) 拆成两个点 \(x_1\) 和 \(x_2\) 分别表示水平和竖直。
\(s\) 向黑点 \(b\) 连 \((2,0)\)，表示 \(b\) 需要和其他两个点连边。白点 \(w\) 向 \(t\) 连 \((2,0)\)，同理。\(b\) 向 \(b_1\) 和 \(b_2\) 分别连容量为 \(2\) 的边，\(w_1\) 和 \(w_2\) 分别向 \(w\) 连容量为 \(2\) 的边，表示进行选择。然后只需要对于上下两个点，竖直与竖直相连，对于左右两个点，水平与水平相连。
考虑加上权值，发现当流入 \(b\) 的流量 \(2\) 向 \(b_1\) 和 \(b_2\) 都有流量的时候才能加上权值，于是考虑拆边。把容量为 \(2\) 的边拆成 \((1,\frac{s}{2})\) 和 \((1,-\frac{s}{2})\) 的边，然后 \(w\) 同理。于是跑最大费用流即可。
以下问题均用到了链式构图。类似于切糕的构图，但是每个点都在一条链上。
考虑如下构图：
其中 \(1\sim 5\) 就对应所有区间内的点，\((1,3)\) 表示区间 \([1,3)\)。容易发现，原问题等价于在该图上选 \(k\) 条路径，每条路径由若干不相交的区间构成。于是可得到该图。
同理采用以上构图。先给出构图：
第 \(i\) 个点表示第 \(i\) 天。为了实现至少 \(a_i\) 个志愿者，将 \((i,i+1)\) 的容量设为 \(\inf -a_i\)。发现该图的最大流为 \(\inf\) 而由于这条边最多只能通过 \(\inf -a_i\) 的流量，所以跨过该边的流量即在当天志愿者的数量需要 \(\ge a_i\)。于是得到该图。
二维平面上有 \(n\) 个白点和 \(n\) 个黑点，每个白点 \((wx_i,wy_i)\) 上有 \(wc_i\) 个白球，黑球同理。如果将白球 \((wx,wy)\) 与黑球 \((bx,by)\) 匹配，则贡献是 \(|wx-bx|+|wy-by|\)。保证黑球的数量等于白球的数量，求最大权完美匹配，\(n\le 10^3\)。
有一个最基本的思路，每个黑点与白点间都连一条相应代价的边，但这样边数是 \(O(n^2)\)，显然无法通过。
考虑优化。主要问题在于绝对值，发现 \(|wx-bx|+|wy-by|\) 只有四种情况，于是建四个虚点分别表示每种情况。由于跑最大费用最大流，所以即使走不合法的路径也一定不优。
模拟费用流
不建图，用数据结构来模拟费用流执行的过程，即模拟费用流。
本质是，用数据结构来处理“反悔”操作，即费用流里面的“退流”。
上下界网络流
特殊情况
整体限制 \([l,r]\)。考虑把所有容量都减去 \(l\)。
其他
无源汇上下界可行流。
给每条边预分配 \(l_i\) 的流量，然后将边的容量改为 \(r_i-l_i\)，这样得到的图可能不满足流量守恒，所以需要新开超级源点 \(S\) 向入流量多的连边，出流量多的向 \(T\) 连边，在该图上跑最大流如果满足 \(S\) 连出的边满流就一定可行。
有源汇上下界可行流。
对于 \(s\) 和 \(t\) 不需要流量守恒，所以增加 \((t,s,0,\infty)\) 变成无源汇问题，此时 \(s\to t\) 的流量为这条边的流量。
有源汇上下界最大/小流。
先求出一个可行流，然后在 \((t,s,0,\infty)\) 删掉后的残量网络上跑最大流，两次流量之和即为答案，因为最大流可以反悔。
最小流即为可行流减去 \(t\to s\) 的最大流。
注：
\(^1\)：如果一个点贪污，即出流量小于入流量，那么它就可以处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产；数额特别巨大，并使国家和人民利益遭受特别重大损失的，处无期徒刑或者死刑，并处没收财产。
\(^2\)：出自 Just_int_mian 网络流建模合集。
特别鸣谢：
@wxr_，多次为本文做出贡献，包括但不仅限于校正。
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