[WC2024] 线段树

虽然代码好像来不及了，但是感觉这题更值得写一点

P10145 [WC2024] 线段树

转化为图

对于这种二元的 (l,r) (x,y) (u,v) 等，经常可以向 坐标、边 转化。一般统计转化成坐标，需要维护关系的转化成边。

这里 l 向 r 连边，意义是 \(s_l\leftrightarrow s_r\) ，那么 \((ql_i,qr_i)\) 合法就要求 ql qr 连通。

注意到此时的图是平面图。

平面图对偶

平面图相关定义

有一个平面图的常见 trick，就是 割边-路径 的转化。

容易发现对偶后路径是有一一对应关系的。

对于图上的 (S,T) ，首先因为是平面图，一定可以翻到最外面。
然后发现割边在对偶图上就是一条从 外面 到 外面 的路径，在原图上，从 S T 各引出一条边分割 外面 ，不进行对偶连边。
两个 半外面 A B 在对偶图上的最短路和割边对应。

例题：

狼抓兔子

按上述直接转化即可

过河

对原图考虑最大流，发现是平面图。

于是 最大流 - 最小割 - 对偶后 的最短路。

但是要 4连通 8连通 的细节，我同样还没来得及写，所以说不清

[NOI2010] 海拔

好像也可以用对偶，先咕咕

回到原题

考虑 (l,r) 是否联通，等价于引出两条分割线，然后判断对偶后的点（原图上是面）是否不连通。
因为要判多个，所以 n 个点要引出分割线，此时等价于 [l,l+1)~[r-1,r) 的区间与 [1,2]~[l-1,l) 和 [r,r+1)~[n-1,n) 和外点无交。

最后我们需要知道对偶后点的连通限制。显然可以连通的点是询问区间交出来的区间，与区间外的点都不能相连

xorhash

还是一个trick，刚做到过，判等价类等价于判断覆盖过这个点的区间的集合时候相等，对每个 [l,r] 赋随机权，比较异或和即可

DP

随机权离散成颜色。
注意到新图是二叉树，考虑在这个树上的朴素 DP，记录 u 连通的颜色/不连，考虑两条边的选择，是 \(O(n^2)\) 的。
（公式省略）

看着不好做，实际上注意到 \(f_{lc,c}\) 和 \(f_{rc,c}\) 只会合并一次，其余形如 \(f_{l,i}\leftarrow f_{l,i}\times coef_r\) ，\(coef_r\) 与 \(i\) 无关。
所以可以线段树合并，第一种合并，第二种打标记。

代码

还没写完