BFS——Flood Fill模型及最短路模型
Flood Fill模型
概述
- 定义
从一个起始节点开始把附近与其连通的节点提取出或填充成不同颜色颜色，直到封闭区域内的所有节点都被处理过为止，是从一个区域中提取若干个连通的点与其他相邻区域区分开 (或分别染成不同颜色)的经典算法。 - 应用
连通块计数、连通块统计(块中元素个数、块周长、块与周围元素关系)
模板
from collections import deque
DIRC = [[-1, 0], [0, 1], [1, 0], [0, -1]]
def bfs(sx, sy) :
que = deque()
que.appendleft([sx, sy]) #将起点入队
st[sx][sy] = True #记录已经遍历过的状态
while len(que) != 0 :
x, y = que.pop()
#走第一步的逻辑
#八相邻
#for i in range(x - 1, x + 2) :
# for j in range(y - 1, y + 2) :
# 四相邻
#for i in range(4) :
# a, b = x + DIRC[i][0], y + DIRC[i][1]
if i == x and j == y : continue
if 越界 : continue
if st[i][j] : continue
核心逻辑
que.append(a, b)
st[a][b] = True
池塘计数
农夫约翰有一片 N∗M 的矩形土地。
最近，由于降雨的原因，部分土地被水淹没了。
现在用一个字符矩阵来表示他的土地。
每个单元格内，如果包含雨水，则用”W”表示，如果不含雨水，则用”.”表示。
现在，约翰想知道他的土地中形成了多少片池塘。
每组相连的积水单元格集合可以看作是一片池塘。
每个单元格视为与其上、下、左、右、左上、右上、左下、右下八个邻近单元格相连。
请你输出共有多少片池塘，即矩阵中共有多少片相连的”W”块。
输入格式
第一行包含两个整数 N 和 M。
接下来 N 行，每行包含 M 个字符，字符为”W”或”.”，用以表示矩形土地的积水状况，字符之间没有空格。
输出格式
输出一个整数，表示池塘数目。
数据范围
1≤N,M≤1000
输入样例：
10 12
W…WW.
.WWW…WWW
…WW…WW.
…WW.
…W…
…W…W…
.W.W…WW.
W.W.W…W.
.W.W…W.
…W…W.
输出样例：
3
from collections import deque
N = 1010
g = []
st = [[Flase] * N for _ in range(N)]
n, m = map(int, input().split())
for i in range(n) :
g.append(input())
def bfs(sx, sy) :
que = deque()
que.apppendleft([sx, sy])
st[sx][sy] = True
while len(que) != 0 :
x, y = que.pop()
for i in range(x - 1, x + 2) :
for j in range(y - 1, y + 2) :
if i == x and j == y : continue
if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m : continue
if st[i][j] or g[i][j] == '.': continue
que.appendleft([i, j])
st[i][j] = True
cnt = 0
for i in range(n) :
for j in range(m) :
if not st[i][j] and g[i][j] == 'W':
bfs(i, j)
cnt += 1
print(cnt)
城堡问题
1 2 3 4 5 6 7
#############################
1 # | # | # | | #
#####—#####—#—#####—#
2 # # | # # # # #
#—#####—#####—#####—#
3 # | | # # # # #
#—#########—#####—#—#
4 # # | | | | # #
#############################
(图 1)
# = Wall
| = No wall
- = No wall
方向：上北下南左西右东。
图1是一个城堡的地形图。
请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。
城堡被分割成 m∗n个方格区域，每个方格区域可以有0~4面墙。
注意：墙体厚度忽略不计。
输入格式
第一行包含两个整数 m 和 n，分别表示城堡南北方向的长度和东西方向的长度。
接下来 m 行，每行包含 n 个整数，每个整数都表示平面图对应位置的方块的墙的特征。
每个方块中墙的特征由数字 P 来描述，我们用1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙，P 为该方块包含墙的数字之和。
例如，如果一个方块的 P 为3，则 3 = 1 + 2，该方块包含西墙和北墙。
城堡的内墙被计算两次，方块(1,1)的南墙同时也是方块(2,1)的北墙。
输入的数据保证城堡至少有两个房间。
输出格式
共两行，第一行输出房间总数，第二行输出最大房间的面积（方块数）。
数据范围
1≤m,n≤50,
0≤P≤15
输入样例：
4 7
11 6 11 6 3 10 6
7 9 6 13 5 15 5
1 10 12 7 13 7 5
13 11 10 8 10 12 13
输出样例：
5
9
本题的输入每个元素都代表了一个房间四周，四位二进制分别为西北东南，如果不是墙就是房间
from collections import deque
N = 55
DIRC = [[0, -1], [-1, 0], [0, 1], [1, 0]]
g = [[0] * N for _ in range(N)]
st = [[False] * N for _ in range(N)]
n, m = map(int, input().split())
for i in range(n) :
g[i][0 : m] = list(map(int, input().split()))
def bfs(sx, sy) :
que = deque()
que.appendleft([sx, sy])
st[sx][sy] = True
cnt = 1
while len(que) != 0 :
x, y = que.pop()
for i in range(4) :
a, b = x + DIRC[i][0], y + DIRC[i][1]
if a < 0 or a >= n or b < 0 or b >= m : continue
if st[a][b] : continue
if g[x][y] >> i & 1 : continue
que.appendleft([a, b])
st[a][b] = True
cnt += 1
return cnt
res = 0
cnt = 0
for i in range(n) :
for j in range(m) :
if not st[i][j] :
cnt += 1
res = max(bfs(i, j), res)
print(cnt)
print(res)
山峰和山谷
FGD小朋友特别喜欢爬山，在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。
为了能够对旅程有一个安排，他想知道山峰和山谷的数量。
给定一个地图，为FGD想要旅行的区域，地图被分为 n×n 的网格，每个格子 (i,j) 的高度 w(i,j) 是给定的。
若两个格子有公共顶点，那么它们就是相邻的格子，如与 (i,j) 相邻的格子有(i−1,j−1),(i−1,j),(i−1,j+1),(i,j−1),(i,j+1),(i+1,j−1),(i+1,j),(i+1,j+1)。
我们定义一个格子的集合 S 为山峰（山谷）当且仅当：
S 的所有格子都有相同的高度。
S 的所有格子都连通。
对于 s 属于 S，与 s 相邻的 s′ 不属于 S，都有 ws>ws′（山峰），或者 ws<ws′（山谷）。
如果周围不存在相邻区域，则同时将其视为山峰和山谷。
你的任务是，对于给定的地图，求出山峰和山谷的数量，如果所有格子都有相同的高度，那么整个地图即是山峰，又是山谷。
输入格式
第一行包含一个正整数 n，表示地图的大小。
接下来一个 n×n 的矩阵，表示地图上每个格子的高度 w。
输出格式
共一行，包含两个整数，表示山峰和山谷的数量。
数据范围
1≤n≤1000,
0≤w≤109
输入样例1：
5
8 8 8 7 7
7 7 8 8 7
7 7 7 7 7
7 8 8 7 8
7 8 8 8 8
输出样例1：
2 1
输入样例2：
5
5 7 8 3 1
5 5 7 6 6
6 6 6 2 8
5 7 2 5 8
7 1 0 1 7
输出样例2：
3 3
样例解释
样例1：
样例2：
from collections import deque
N = 1010
g = [[0] * N for _ in range(N)]
st = [[False] * N for _ in range(N)]
n = int(input())
for i in range(n) :
g[i][0 : n] = list(map(int, input().split()))
def bfs(sx, sy) :
que = deque()
is_higher, is_lower = False, False
que.appendleft([sx, sy])
st[sx][sy] = True
while len(que) != 0 :
x, y = que.pop()
for i in range(x - 1, x + 2) :
for j in range(y - 1, y + 2) :
if i == x and j == y : continue
if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= n : continue
#if st[i][j] : continue这里不需要因为要记录(x, y)周围元素状态
if g[i][j] != g[x][y] :
if g[i][j] > g[x][y] : is_higher = True
else : is_lower = True
elif not st[i][j]:
que.appendleft([i, j])
st[i][j] = True
return is_higher, is_lower
peek, valley = 0, 0
for i in range(n) :
for j in range(n) :
is_higher = False
is_lower = False
if not st[i][j] :
is_higher, is_lower = bfs(i, j)
if not is_higher : peek += 1
if not is_lower : valley += 1
print(peek, valley)
最短路模型
概述
当每一步的走法权值都相等时可以用BFS求最短路
与Flood Fill相比，即将其中记录状态的st转化为记录距离或者记录路径的数组
迷宫问题
给定一个 n×n 的二维数组，如下所示：
int maze[5][5] = {
0, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 1, 0,
0, 0, 0, 1, 0,
};
它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的最短路线。
数据保证至少存在一条从左上角走到右下角的路径。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n 个整数 0 或 1，表示迷宫。
输出格式
输出从左上角到右下角的最短路线，如果答案不唯一，输出任意一条路径均可。
按顺序，每行输出一个路径中经过的单元格的坐标，左上角坐标为 (0,0)，右下角坐标为 (n−1,n−1)。
数据范围
0≤n≤1000
输入样例：
5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0
输出样例：
0 0
1 0
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
3 4
4 4
通过pre数组记录每个点前一个状态
from collections import deque
N = 1010
DIRC = [[-1, 0], [0, 1], [1, 0], [0, -1]]
g = [[0] * N for _ in range(N)]
pre = [[[-1, -1] for _ in range(N)] for _ in range(N)]
n = int(input())
for i in range(n) :
g[i][0 : n] = list(map(int, input().split()))
def bfs(sx, sy) :
que = deque()
que.appendleft([sx, sy])
pre[sx][sy] = [n + 1, n + 1]
while len(que) != 0:
x, y = que.pop()
for i in range(4) :
a, b = x + DIRC[i][0], y + DIRC[i][1]
if a < 0 or a >= n or b < 0 or b >= n : continue
if pre[a][b][0] != -1 : continue
if g[a][b] == 1 : continue
que.appendleft([a, b])
pre[a][b] = [x, y]
bfs(n - 1, n - 1)
end = [0, 0]
while end[0] != n + 1 and end[1] != n + 1 :
print(end[0], end[1])
end = pre[end[0]][end[1]]
武士风度的牛
农民 John 有很多牛，他想交易其中一头被 Don 称为 The Knight 的牛。
这头牛有一个独一无二的超能力，在农场里像 Knight 一样地跳（就是我们熟悉的象棋中马的走法）。
虽然这头神奇的牛不能跳到树上和石头上，但是它可以在牧场上随意跳，我们把牧场用一个 x，y 的坐标图来表示。
这头神奇的牛像其它牛一样喜欢吃草，给你一张地图，上面标注了 The Knight 的开始位置，树、灌木、石头以及其它障碍的位置，除此之外还有一捆草。
现在你的任务是，确定 The Knight 要想吃到草，至少需要跳多少次。
The Knight 的位置用 K 来标记，障碍的位置用 * 来标记，草的位置用 H 来标记。
这里有一个地图的例子：
11 | . . . . . . . . . .
10 | . . . . * . . . . .
9 | . . . . . . . . . .
8 | . . . * . * . . . .
7 | . . . . . . . * . .
6 | . . * . . * . . . H
5 | * . . . . . . . . .
4 | . . . * . . . * . .
3 | . K . . . . . . . .
2 | . . . * . . . . . *
1 | . . * . . . . * . .
0 ----------------------
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
The Knight 可以按照下图中的 A,B,C,D… 这条路径用 5 次跳到草的地方（有可能其它路线的长度也是 5）：
11 | . . . . . . . . . .
10 | . . . . * . . . . .
9 | . . . . . . . . . .
8 | . . . * . * . . . .
7 | . . . . . . . * . .
6 | . . * . . * . . . F<
5 | * . B . . . . . . .
4 | . . . * C . . * E .
3 | .>A . . . . D . . .
2 | . . . * . . . . . *
1 | . . * . . . . * . .
0 ----------------------
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
注意： 数据保证一定有解。
输入格式
第 1 行： 两个数，表示农场的列数 C 和行数 R。
第 2…R+1 行: 每行一个由 C 个字符组成的字符串，共同描绘出牧场地图。
输出格式
一个整数，表示跳跃的最小次数。
数据范围
1≤R,C≤150
输入样例：
10 11
…
……
…
….…
……
………H
…
………
.K…
……*
………
输出样例：
5
from collections import deque
N = 155
DIRC = [[-2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1], [2, -1], [1, -2], [-1, -2]]
g = []
dist = [[-1] * N for _ in range(N)] #表示从起点到(i, j)点最短距离
m, n = map(int, input().split())
for i in range(n) :
g.append(input())
def bfs(sx, sy) :
que = deque()
que.appendleft([sx, sy])
dist[sx][sy] = 0
while len(que) != 0 :
x, y = que.pop()
for i in range(8) :
a, b = x + DIRC[i][0], y + DIRC[i][1]
if a < 0 or a >= n or b < 0 or b >= m : continue
if g[a][b] == '*' : continue
if dist[a][b] != -1 : continue
que.appendleft([a, b])
dist[a][b] = dist[x][y] + 1
if g[a][b] == 'H' : return dist[a][b]
st, ed = 0, 0
for i in range(n) :
for j in range(m) :
if g[i][j] == 'K' :
st, ed = i, j
break
print(bfs(st, ed))
抓住那头牛
农夫知道一头牛的位置，想要抓住它。
农夫和牛都位于数轴上，农夫起始位于点 N，牛位于点 K。
农夫有两种移动方式：
从 X 移动到 X−1 或 X+1，每次移动花费一分钟
从 X 移动到 2∗X，每次移动花费一分钟
假设牛没有意识到农夫的行动，站在原地不动。
农夫最少要花多少时间才能抓住牛？
输入格式
共一行，包含两个整数N和K。
输出格式
输出一个整数，表示抓到牛所花费的最少时间。
数据范围
0≤N,K≤105
输入样例：
5 17
输出样例：
4
无论是-1、+1或者*2都作为一步走，都是一种走法，权值相同，而且只要第一次走到的就是最短距离
农夫能走的最远距离是2 * K，因为到了K后面时，不可能再往后走。
from collections import deque
N = int(2e5) + 10
dist = [-1] * N
n, k = map(int, input().split())
def bfs(n) :
que = deque()
que.appendleft(n)
dist[n] = 0
while len(que) != 0 :
t = que.pop()
if t + 1 < N and dist[t + 1] == -1 :
que.appendleft(t + 1)
dist[t + 1] = dist[t] + 1
if t * 2 < N and dist[t * 2] == -1 :
que.appendleft(t * 2)
dist[t * 2] = dist[t] + 1
if t - 1 >= 0 and dist[t - 1] == -1 :
que.appendleft(t - 1)
dist[t - 1] = dist[t] + 1
if k in [t - 1, t + 1, t * 2] : return
bfs(n)
print(dist[k])
总结
我经常出错的地方：
if a < 0 or a >= n or b < 0 or b >= m : continue边界范围、记录周围状况时，在判断连通的时候再判断是否已被访问
