无题

膜拜tzc_wk等一众神犇。
part 1

\[\sum\limits_{s=1}^n s{n-1\choose s-1}\begin{Bmatrix}n-s\\ k-1\end{Bmatrix}\\ =\sum\limits_{s=1}^n s{n - 1\choose s-1 }\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}i^{n-s}}{i!(k-1-i)!}\\ \\ \]

part 2

\[=\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}\sum\limits_{s=1}^n s{n-1\choose s-1}i^{n-s}\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}\sum\limits_{s=1}^n(s-1+1){n-1\choose s-1}i^{n-s}\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}(\sum\limits_{s=1}^n(s-1){n-1\choose s-1}i^{n-s}+\sum\limits_{s=1}^n{n-1\choose s-1}i^{n-s})\\ \]

part 3

\[=\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}(\sum\limits_{s=1}^n (s-1)\frac{n-1}{s-1}{n-2\choose s-2}i^{n-s}+\sum\limits_{s=1}^n{n-1\choose s-1}i^{n-s})\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}(\sum\limits_{s=1}^n (n-1){n-2\choose s-2}i^{n-s}+\sum\limits_{s=1}^n{n-1\choose s-1}i^{n-s})\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}((n-1)\sum\limits_{s=1}^n {n-2\choose s-2}i^{n-s}1^{s-2}+\sum\limits_{s=1}^n{n-1\choose s-1}i^{n-s}1^{s-1})\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^{k-1-i}}{i!(k-1-i)!}((n-1)(i+1)^{n-2}+(i+1)^{n-1}) \]