[BZOJ2194] 快速傅立叶之二 题解

看名字，然后准备转化为多项式乘法。

\[c_k=\sum_{i=0}^{n-k-1}a_{i+k}b_i \]

将 \(a\) 反转，得：

\[c_k=\sum_{i=0}^{n-k-1}a_{n-i-k-1}b_i \]

这已经是多项式乘法的格式了，直接多项式乘法，最后对函数 \(c\) 的 \(0\) 到 \(n-1\) 次项倒序输出即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
const double pi=acos(-1);
int n,m,rev[N];
struct comn{double a,b;}f[N],g[N];
comn operator+(comn x,comn y){
    return {x.a+y.a,x.b+y.b};
}comn operator-(comn x,comn y){
    return {x.a-y.a,x.b-y.b};
}comn operator*(comn x,comn y){
    return {x.a*y.a-x.b*y.b,x.b*y.a+x.a*y.b};
}void operator+=(comn &x,comn y){x=x+y;}
void operator*=(comn &x,comn y){x=x*y;}
void init(int k,int len){
    for(int i=0;i<len;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
}void fft(comn *a,int n,int fl){
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    comn om={cos(pi),fl*sin(pi)},w={1,0};
    for(int i=1;i<n;i*=2,om={cos(pi/i),fl*sin(pi/i)})
        for(int j=0;j<n;j+=i*2,w={1,0})
            for(int k=j;k<j+i;k++){
                comn x=a[k],y=w*a[k+i];
                a[k]+=y,a[k+i]=x-y,w*=om;
            }
}int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;int k=0,mx=1;
    while(mx<=n+n-2) mx*=2,k++;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>f[n-i-1].a>>g[i].a;
    init(k,mx),fft(f,mx,1),fft(g,mx,1);
    for(int i=0;i<mx;i++) f[i]*=g[i];
    fft(f,mx,-1);
    for(int i=n-1;~i;i--)
        cout<<(int)(f[i].a/mx+0.5)<<"\n";
    return 0;
}//fast fourier transform