随笔分类 - 数学
摘要：这题分三步：葺网（期望）、淀粉质（点分治）、蓉翅（容斥），再佐以芬芳团（FFT），一道巨难无比的 luogu 黑题就诞生了。 期望 先考虑在淀粉树上，\(i\) 点在 \(j\) 点的子树里的概率。实际上这个问题的每种情况相当于是 \(n\) 个点的各种排列方式。这也就相当于，我们在选择 \(j\)
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摘要：容易发现： \[E_i=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_j}{(i-j)^2}-\sum_{j=i+1}^n\frac{q_j}{(i-j)^2} \]不妨设 \(a_i=q_i,b_i=\dfrac 1{i^2}\)： \[E_i=\sum_{j=1}^{i-1}a_jb_{i-j
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摘要：看名字，然后准备转化为多项式乘法。 \[c_k=\sum_{i=0}^{n-k-1}a_{i+k}b_i \]将 \(a\) 反转，得： \[c_k=\sum_{i=0}^{n-k-1}a_{n-i-k-1}b_i \]这已经是多项式乘法的格式了，直接多项式乘法，最后对函数 \(c\) 的 \(0\
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摘要：注：由于发现 FWT 解决的问题和 FFT，NTT 差别有点大，加之 FMT 的存在，本文就只解决 FFT 和 NTT，剩下两个放在别的算法总结里讲。 多项式一向是算法竞赛中相当博大精深的东西，作为一个蒟蒻，我将会以最大的努力完成这篇记录，以防自己以后看不懂qwq。 FFT(快速傅里叶变换) FFT
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摘要：学原根发现拔山盖世算法忘光了，干脆一块儿写了吧。 \(BSGS\) 算法 \(BSGS\) 算法，又名拔山盖世算法、北上广深算法。他解决的问题如下： 求解最小的可行的 \(k\)，满足 \(a^k\equiv b(\bmod p)\)，其中保证 \(\gcd(a,p)=1\)。 容易想到暴力枚举，时
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摘要：事实证明物竞笔记是个好东西，可惜没带，不然还能谎称自己会一点求导和微积分。 顺便在这里把比较经典的一些关于求导的东西记录一下： 常用函数求导： \(C'=0,(x^n)'=nx^{n-1},(\log_ax)'=\frac 1{x\ln a}\) \((\ln x)'=\frac 1x,(a^x)'
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摘要：首先发现 \(p_x\times dis(x,y)+q_x\) 异常像是能斜率优化的样子，那先把求 \(f_x\) 的式子写出来（下设 \(d_x\) 表示 \(x\) 到根的距离）： \[f_x=\min_{lca(x,y)=y,y\ne x}(p_x\times(d_x-d_y)+q_x+f_y
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摘要：\(xor\) 最大值想到线性基，路径想到 \(lca\) 和树链剖分，由于没有修改用 \(lca\) 就可以。先用处理 \(fa\) 数组的方式处理倍增线性基（自然是得用线性基合并的），在求 \(lca\) 时把所有线性基全部合到一块儿就行。 考虑到本题实际上核心在于让路径上的线性基数量 \(\l
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摘要：考虑不联通的情况。图不好做，就造一棵生成树出来，由于是无向图，所以只有树边和返祖边。 发现在一条树边断开后，生成树会分成两个连通块，由覆盖这条树边的返祖边链接，只有这些返祖边也全部断开，原图才会不联通。 想到异或的优良性质。我们给所有返祖边在 \([0,2^{63})\) 中随机一个值作为这条边的权
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摘要：不得不说这题的确挺苟的。 注：下述“引理”表示： 对于长度为 \(n\) 的数组 \(V\)，其线性基为 \(B\)，定义 \(c_v=\bigoplus\limits_{a\in v}a\)，\(num_k=\sum\limits_{v\subseteq V}[c_v=k]\)，则 \(\fora
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摘要：一、概念 线性基实际上就是维护了一个数组 \(p\)，满足 \(p_i\) 在二进制下的最高位为第 \(i\) 位。 二、实现 现在我们有一个数组 \(a\)，我们要构造他的线性基 \(p\)。 每次插入 \(a_i\) 时，我们都从高位往低位遍历，用以寻找第一个空位插入它。当然，我们也不能直接把原
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摘要：因为要求本质不同的图，容易想到群论。 为了方便处理，将边是否存在转化为边的黑白染色问题（实际上就是 \([SHOI2006]\) 有色图 的弱化版本，最终公式也差不多）。 根据 \(Burnside\) 引理和 \(Polya\) 定理，将问题转化为：对于每种置换方案，有多少个边的等价类。 考虑对于
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摘要：本文有着大量的感性理解，或没有证明的性质。鄙人尚菜，还请各位看官多多包涵。 一、置换 实际上可以理解为对集合的每个元素一个新的标号，满足这个标号集合与原集合一一对应。 如集合 \(X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\)，他的置换就可以表示为：\(\sigma=(_{x_{p_1}\ \
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摘要：有点水了…… 考虑相邻的不能放在一起，不相邻的可以，那么很容易想到转移方程： \[dp_{i,j}=\sum_{k=0}^{25}dp_{i-1,k}[j,k不相邻] \]其中 \(dp_{i,j}\) 表示填了 \(i\) 位，最后一位填 \(j\)。 那结合数据范围，显然矩阵快速幂。 时间复杂度
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