从有限状态机、图灵机到现代计算机

第一部分：有限状态机

引子：

 

让我们先来看几个简单的概念：

状态        -  系统的基本数学特征。

状态机      -  一个离散数学模型。给定一个输入集合，根据对输入的接受次序来决定一个输出集合。

有限状态机  -  输入集合和输出集合都是有限的，并只有有限数目的状态。

有限状态机的定义：

课本中的组合电路+时序电路的模型就是一个有限状态机，我们不妨通过它来推测有限状态机应有的组成：

1. 状态有限集S={S0,S1,S2, ...... }。

2. 集合S的特殊元素S0，即为起始状态。

3. 输入字母有限集I={i1,i2, ...... }。

4. 输出字母有限集O={o1,o2, ...... }。

5. S×I映至S的函数f，即转换函数。

6. S映至O的函数g，即为输出函数。

前四个内容很容易理解，而f与g这两个函数由电路的设计决定，一般是时序电路（存储电路）部分决定f，组合电路部分决定g。

具体模型可以用下面图示表示。

 

有限状态机的模型

 

 

常用表示方法

 

而对于计算理论或数学中的定义有限状态机M，有如下的五元组定义：有穷状态转换系统M = <S, A, h, S₀, F>。

其中S是M的有穷状态集，初始状态S_0∈S，结束状态F⊆S；M总处在某个状态，开始时在S₀；A是有穷符号集，h : S×A → S×(A ⋃ { _ }) 是转换函数（部分函数），_表示无输出，若M在状态S接到输入a_∈A,假设h(S, a) = <S’, b>,(s'_∈S, b_∈A)，M就转到状态S'并产生输出b。

对比我们总结的模型，发现出现了终止状态（由于我们所学电路功能主要是实现计数、分频、输出序列波等持续性功能，所以没有接触到终止状态），这说明我们的模型基本反映了有限状态机的组成，但只是第二个定义无终止状态（即F为空集）的特例，下面我们的讨论就采用后面的经典定义。 (to be continued)