题解：P17699 [ICPC 2019 Nanjing R] A Hard Problem

一篇给构造方法的题解。

先放答案，是 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1\)。

不正确思路

观察样例发现是 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1\)，输出就对了。

正确思路

构造方法也很简单，首先把所以因子 \(2\) 提取出来，变成 \(2^a \times x\) 的形式，对于相同的 \(x\) 放在一同一条链上，这样可以保证每条链里，后面的数都是前面数的倍数，所以同一条链里任意两个数都满足一个是另一个的因子，而链首就是一个奇数。

构造完后对于每一条链，取一个数，目前的结果就是 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil\)，因为链首是奇数，而 \(1 \sim n\) 里有 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil\) 个奇数，所以就有奇数条链，最后很容易知道，为了满足条件，再随便找一条链里选一个就行了。

实际上是先分组，再抽屉原理解决。

综上，答案就是 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n;
int main(){
    cin >> t;
    while (t--){
        cin >> n;
        cout << (n+1)/2+1 << "\n";//向上取整
    }
    return 0;
}