公约数与最大公约数

公约数的一条重要性质是：

d|a且d|b蕴含着d|(a+b)且d|(a-b)

       更一般的，对任意整数x和y，有

d|a且d|b蕴含着d|(ax+by)

       并且，如果a|b,那么|a| ≤ |b|,或者b = 0,而这说明

a|b且b|a蕴含着a = ±b

gcd函数的基本性质:

       gcd(a,b) = gcd(b,a)

       gcd(a,b) = gcd(-a,b)

       gcd(a,b) = gcd(|a|,|b|)

       gcd(a,0) = |a|

       gcd(a,ka) = |a|

定理1：如果任意整数a和b都不为0，则gcd(a,b)是a和b的线性组合集{ax+by: x,y∈ Z}中的最小正元素。

       推论1：对任意整数a与b，如果d|a且d|b,则d|gcd(a,b)

       推论2：对所有整数a和b以及任意非负整数n，有gcd(an,bn) = n gcd(a,b)

       推论3：对于任意正整数n、a和b，如果n|ab且gcd(an,bn)是集合{anx+bny: x,y∈Z}中的最小正元素，即集合{ax+by:x,y∈Z}中最小正元素的n倍。

       GCD递归定理：对任意非负整数a和任意正整数b，

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

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欧几里得算法：

　

int gcd(int a, int b){
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a%b);
}