Dp优化之决策单调栈优化

证明：g(i) ≤ g(j)   (i ≤ j)

令 d=g(i) , k<d ,

设cut = x表示 f(i) = f(x) + w[x,i]    ( x < i )

构造一个式子：

(      f(i)    -    f(i)   )  -  (     f(j)    -    f(j)   ) 

   cut=k     cut=d           cut=k     cut=d

=(     f(k) + w( k , i )  -  f(d) - w( d , i )      ) - (    f(k) + w( k , j )   -   f(d) - w( d , j )    )

=(   w( k , i )+  w( d , j )   ) - (   w( k , j )+  w( d , i )  )

因为 k < d < i < j

所以

 (   w( k , i )+  w( d , j )   ) ≤ (   w( k , j )+  w( d , i )  )

 

 

(      f(i)    -    f(i)   )  -  (     f(j)    -    f(j)   )  ≤  0

cut=k     cut=d           cut=k     cut=d

又因为 d = g（i）

所以

(      f(i)    -    f(i)   )  ≥ 0

   cut=k     cut=d  

(     f(j)    -    f(j)   )  ≥ 0

cut=k     cut=d

    f(j)    ≥    f(j)  

cut=k      cut=d

又因为 k < d

所以 g(j)>=d=g(i)

证毕