算法简介

　　算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。（为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每个操作都完成一组特定功能，这就是算法了）现实生活中的复杂问题往往都是伴随着数据结构和算法一起解决的，二者结合更能体现出巨大的智慧。

• 算法的五个特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

1. 输入、输出：算法具有零个或多个输入，至少有一个或多个输出。
2. 有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
3. 确定性：算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性。
4. 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成。

• 算法设计的要求：正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低。

　　一、正确性：算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反应问题的需求，能够得到问题的正确答案。　

　　（1）算法程序没有语法错误。

　　（2）算法程序对于合法的输入数据都能产生满足条件的输出结果。

　　（3）算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。

　　（4）算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

　　二、可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

　　三、健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

　　四、时间效率高：算法执行时间短。

　　五、存储量低：算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间小。

• 算法效率的度量方法：

1. 事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。（坏处有三：一是必须依据算法实现编制好程序，二是时间比较依赖计算机硬件的软件等环境因素，又是会掩盖算法本身的优势，三是算法的测试数据设计困难。）
2. 事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。（1.取决于算法采用的策略、方法，2.编译产生的代码质量，3.问题的输入规模，4.机器执行指令的速度。）抛开计算机硬件、软件，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏的问题的输入规模（输入量的多少））。

　　最终，在分析程序的运行时间时，把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。

　　列举三条求和算法：

• 1

int i,sum=0,n=100;　　/*执行1次*/
for(i=1;i<=n;i++)　　/*执行n+1次*/
{
　　sum=sum+i;　　/*执行n次*/
}
printf("%d",sum);　　/*执行1次*/
/*f(n)=n*/

• 2

int sum=0,n=100;　　/*执行1次*/
sum=(1+n)*n/2;　　/*执行1次*/
printf("%d",sum);　　/*执行1次*/
/*f(n)=1.（输入规模n关于操作数量的函数，即基本的操作数量必须表示成输入规模的函数）*/ 

• 3

int i,j,x=0,sum=0,n=100;　　/*执行1次*/
for(i=1;i<=n;i++)
{
　　for(j=1;j<=n;j++)
　　{　　　　　　　　/*执行n*n次*/
　　　　x++;
　　　　sum=sum+x;
　　}
}
printf("%d",sum);　　/*执行1次*/
/*f(n)=n2*/

 

•  函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。

1. 与最高次项相乘的常数并不重要；
2. 最高次项指数大的，函数随着n的增长，结果也会增长更快；
3. 判断一个算法的效率是，函数的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

• 算法时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

　　这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称为大O记法。（一般情况下，T(n)增长最慢的算法为最优算法）

　　最坏情况下的时间复杂度称为最坏时间复杂度，最坏情况运行时间是一种保证；一般情况下的时间复杂度称为平均复杂度，平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。一般在没有特殊情况说明下，都是指最坏时间复杂度。

• 算法的空间复杂度计算公式：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

　　O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<n!<nⁿ。