随机游动
定义
令 \(X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots\) 独立同分布，\(P\left(X_{i}=1\right)=P\left(X_{i}=-1\right)=\frac{1}{2}\).
随机过程 \(\left\{M_{i}\right\}_{i>0}, M_{0}=0,M_{k}=\sum_{i=1}^{k} X_{i}\) 称为对称的随机游动。
性质
-
独立增量过程：对 \(0 \leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{n}\) ， \(M_{k}, M_{k_{1}}-M_{k_{0}}, M_{k_{2}}-M_{k_{1}}, \ldots, M_{k_{n}}-M_{k_{n-1}}\) 独立
\[\begin{aligned}
& M_{k+1}-M_{k} = X_i \\
& \operatorname{Var}\left(M_{k+l}-M_{k}\right)=\operatorname{Var}\left(\sum_{i=k+1}^{k+l} X_{i}\right)=\sum_{i=k+1}^{k+l} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=l
\end{aligned}
\]
- 二次变差过程被定义为 \([M, M ]_{k}:=\sum_{j=1}^{k}\left(M_{j}-M_{j-1}\right)^{2}=k\)
连续时间随机过程 \(\left\{W^{(n)}(t)\right\}\)
定义
-
若 \(n t\) 是一整数， \(W^{(n)}(t):=\frac{1}{\sqrt{n}} M_{n t}\)
-
者 \(n t\) 不是一整数， \(\lfloor n t\rfloor<n t<\lceil n t \rceil\) ，此时：
\[W^{(n)}(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}\left[M_{(n t)}+(n t-[n t])\left(M_{\lceil n t \rceil}-M_{\lfloor n t\rfloor}\right)\right]
\]
这样就得到一条连续轨道，整数点和整数点之间用线段连接。
性质
-
对 \(0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}\)，其中， \(n t_{i}\) 为整数， \(W^{(n)}\left(t_{0}\right),W^{(n)}\left(t_{1}\right)-W^{(n)}\left(t_{0}\right), \ldots,W^{(n)}\left(t_{k}\right)-W^{(n)}\left(t_{k-1}\right)\) 独立
-
对 \(0 \leq s<t\) ，且 \(ns,nt\) 均为整数，有：
\[\begin{aligned}
& E\left[W^{(n)}(t)-W^{(n)}(s)\right]=0 \\
& \operatorname{Var}\left[W^{(n)}(t)-W^{(n)}(s)\right]=t-s
\end{aligned}
\]
- 对 \(t>0\)， \(nt\) 为整数, 有：
\[\left[W^{(n)}, W^{(n)}\right]_{t}=\sum_{j=1}^{n t}\left(W^{(n)}\left(\frac{j}{n}\right)-W^{(n)}\left(\frac{j-1}{n}\right)\right)^{2}=t
\]
定理：固定 \(t\) ，当 \(n \rightarrow \infty ， W^{(n)}(t)\) 的分布收敛于方差为 \(t\) ，均值为 0 的正态分布。
证明：令矩母函数 \(\varphi_{n}(u)=E\left[e^{u W^{n}(t)}\right]\) ，只需证 \(\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(u)=e^{\frac{u t^{2}}{2}}\)
\[\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(u) & =\lim _{n \rightarrow \infty} E\left[e^{\frac{u}{\sqrt{n}} M_{\lfloor n \rfloor)}} \cdot e^{\frac{u}{\sqrt{n}}(n t-\lfloor n t\rfloor)\left(M_{\lceil n t\rceil}-M_{\lfloor n t\rfloor}\right)}\right] \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} E\left(e^{\frac{u}{\sqrt{n}} M_{\lfloor n \rfloor}}\right)
\end{aligned}
\]
由于 $ \frac{n t-\lfloor n t\rfloor}{\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}},\left|M_{\lceil nt \rceil}-M_{\lfloor nt \rfloor}\right| \leqslant 1$ ，有：
\[\lim _{n \rightarrow \infty} E\left[e^{\frac{u}{\sqrt{n}}(n t-\lfloor n t\rfloor)\left(M_{\lceil n t\rceil}-M_{\lfloor n t\rfloor}\right)}\right] =E \left[\lim _{n \rightarrow \infty}e^{\frac{u}{\sqrt{n}}(n t-\lfloor n t\rfloor)\left(M_{\lceil n t\rceil}-M_{\lfloor n t\rfloor}\right)}\right]
\]
进而得证：
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(u)=\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{j=1}^{\lfloor nt\rfloor} E\left[e^{\frac{u}{\sqrt{n}} X_{j}}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} e^{\frac{u}{\sqrt{n}}}+\frac{1}{2} e^{-\frac{u}{\sqrt{n}}}\right)^{\lfloor n t\rfloor}=e^{\frac{u^{2}t}{2}}
\]
\(n \rightarrow \infty\) 时， \(\left\{W^{(n)}(t)\right\} \stackrel{\text { 定义为 }}{\longrightarrow}\{W(t)\}_{t>0}\)
标准布朗运动
定义
定义：如果
-
\(W(0)=0\)；
-
对 \(t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}\) ， \(W\left(t_{0}\right), W\left(t_{1}\right)-W\left(t_{0}\right) \ldots, W\left(t_{n}\right)-W\left(t_{n-1}\right)\) 相互独立；
- \(\{W(t)\}\) 连续，对几乎所有的 \(\omega\)， \(W(t \omega)\) 关于 \(t\) 连续。
则 \(\{W(t)\}_{t \geqslant 0}\) 是一标准布朗运动。
布朗运动分布
对 \(0 \leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)
\[\begin{aligned}
& (W(t_1), \ldots, W(t_n)) \sim N(0, \Sigma), \quad \Sigma=\left(\sigma_{i j}\right), \text { 对 } \forall i \leq j: \\
& \sigma_{i j}=E\left[W\left(t_{i}\right) W\left(t_{j}\right)\right] \\
& =E\left[W\left(t_{i}\right)^{2}+W\left(t_{i}\right)\left(W\left(t_{j}\right)-W\left(t_{j}\right)\right)\right] \\
& =t_{i}+E\left[W\left(t_{i}\right)\right] E\left[W\left(t_{j}\right)-W\left(t_{i}\right)\right] \\
& =t_{i}
\end{aligned}
\]
那么 \(\Sigma\) 就形如：
\[\Sigma=\left[\begin{array}{cccc}
t_{1} & t_{1} & \cdots & t_{1} \\
t_{1} & t_{2} & \cdots & t_{2} \\
& & \vdots \\
t_{1} & t_{2} & \cdots & t_{n}
\end{array}\right]=LL^{\top}
\]
有两种等价的抽样方法：
\[\left.\begin{array}{l}
W\left(t_{1}\right) \sim N\left(0, t_{1}\right) \\
W\left(t_{2}\right)-W\left(t_{1}\right) \sim N\left(0, t_{2}-t_{1}\right)\\\ldots
\end{array}\right\} \Rightarrow W\left(t_{1}\right), W\left(t_{2}\right) ,~\cdots
\]
- \(\Sigma=L L^{\top}\) ， \(L\) 是下三角阵，用Cholesky分解，对联合标准正态分布左乘 \(L\) 即可。
Black-Scholes 公式
B-S公式的计算
\(\{S(t)\}\) 为标的资产的价格过程，年化波动率为 \(\sigma\) ，服从几何布朗运动，无风险利率为\(r\)。
现在对一欧式看涨期权定价，行权价格为\(K\)，存续期为\(T\)，在\([0, T]\)时间内，标的资产不分红利。
在风险中性测度下：
\[S(t)=S_{0} \cdot \exp \left[\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) t+\sigma W(t)\right]
\]
其中 \(W(t)\) 是标准布朗运动，则期权价格为：
\[\begin{aligned}
C & =e^{-r T} E\left[(S(f)-K)^{+}\right]\\
& =e^{-r T} E\left[\left(S_0 e^{\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T+\sigma W(T)}-K\right)^{+}\right]
\end{aligned}
\]
其中 $a^{+}=\max (a, 0) $。
选接行权时：
\[\begin{aligned}
&\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T+\sigma W(T) \geqslant \ln \left(\frac{K}{S_{0}}\right) \\
&i.e. \quad W(T) \geqslant \frac{\ln \left(k / S_{0}\right)-\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T}{\sigma}
\end{aligned}
\]
使用示性函数将 \(C\) 进一步化简, 去除 \(a^{+}\)：
\[\begin{aligned}
C & =e^{-r T} I\left(S_{0} e^{\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T+\sigma W(t)}-K\right) 1_{\{W(t)\} \geqslant \frac{\ln K / S_{0}-\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T}{\sigma}} \\
& =e^{-r T} \int_{\ln \left(K / S_{0}\right)-\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T}^{\sigma} \frac{e^{-\frac{x^{2}}{2 T}}}{\sqrt{2 \pi T}}\left(S_0e^{\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T+\sigma x}-K\right) d x \\
& =S_{0} \Phi\left(d_{1}\right)-K \Phi\left(d_{2}\right) \\
\end{aligned}
\]
其中，\(d_1=\frac{\ln \left(S_{0} / K\right)+\left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T}{\sigma \sqrt{T}}, d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T}=\frac{\ln \left(S_{0} / K\right)+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) T}{\sigma \sqrt{T}}\)。
微元分析法
根据定义，有：
\[\begin{aligned}
& E\left[\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{S(t)}\right] \approx \mu \Delta t \\
& \operatorname{Var}\left(\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{S(t)}\right) \approx \sigma^{2} \Delta t \\
& \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{S(t)} \approx \mu \Delta t+\varepsilon_{\Delta t}
\end{aligned}
\]
其中 \(E\left[\varepsilon_{\Delta t}\right]=0,\operatorname{Var}\left(\varepsilon_{\Delta t}\right)=\sigma^{2} \Delta t\) ，用布朗运动刻画：
\[\varepsilon_{\Delta t}=\sigma(W(t+\Delta t)-W(t))
\]
则：
\[\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{S(t)}=\mu \Delta t+\sigma(\hat{W}(t+\Delta t)-\hat{W}(t))
\]
其中 \(\hat{W}(t)\) 是在真实世界测度下的标准布朗运动：
\[ S(t+\Delta t)-S(t)=\mu S(t) \Delta t+\sigma S(t)(\hat{W}(t+\Delta t)-\hat{W}(t)) \Rightarrow d S(t)=\mu S(t) d t+\sigma S(t) d \hat{W}(t)
\]
积分得：
\[S(t)=S(0)+\mu \int_{0}^{t} S(u) d u+\sigma \int_{0}^{t} S(u) d \hat{W}(u)
\]
而在风险中性测度下: \(d S(t)=r S(t) d t+\sigma S(t) d W(t)\)，其中 \(\{W(t)\}\) 在风险中性测度下为标准布朗运动。
\[S(t)=S(0)+r \int_{0}^{t} S(u) d u+\sigma \int_{0}^{t} S(u) d W(u)
\]
然而： \(S(t, w)=S_{0}+\int_{0}^{t} S(u, w) d u+\sigma \int_{0}^{t} S(u, \omega) d W(u, w)\)，换句话说这两个式子的最后一项无法按轨道积分。
怎么积分呢？需要用伊藤积分。下面有关变差的性质可以证明按轨道是积不出来的。
有界变差、二次变差
有界变差的定义
若 \(g\) 是 \([a , b]\) 上的函数，\(\pi\) 是 \([a , b]\) 上的分划，即 \(t_{0}=a<t_{1}<\cdots<t_{n}=b\) , \(g\) 在分划 \(\pi\) 下的变差定义为：
\[\operatorname {V}_{g, \pi}([a, b])=\sum_{t=0}^{n-1}\left|g\left(t_{i+1}\right)-g\left(t_{i}\right)\right|
\]
定义：若 \(\lim _{|\pi| \rightarrow 0} \operatorname{V}_{g, \pi}([ a, b])\) 存在 (其中 \(\left.|\pi|=\max _{0 \leq i \leq n-1}\left|t_{i+1}-t_{i}\right|\right)\)，则称 \(g\) 在 \([a, b]\) 上具有有界变差。
也可以定义为 \(\sup _{\pi} \operatorname{V}_{g, \pi}([a, b])<+\infty\)，两种定义等价，并定义：
\[\operatorname{V}_g([a, b]):=\lim _{|\pi| \rightarrow 0}\operatorname{V}_{g, \pi}([a, b])=\sup _{\pi} \operatorname{V}_{g, \pi}([a, b])
\]
有界变差的性质
-
如果 \(g\) 在 \([a, b]\) 上单调，对任何 $\pi $ ， \(V_{g, \pi}([a, b])=|g(b)-g(a)|\)；
-
如果 \(g^{\prime}\) 在 \([a, b]\) 上存在且连续: \(V_g([a, b])=\int_{a}^{b}\left|g^{\prime}(x)\right| d x\)
-
如果 \(g=f_{1}-f_{2}\) ，其中 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\) 在 \([a , b]\) 上单调，则对 \(\forall \pi\) ， \(\sup _{\pi} V_{g,\pi}([a, b]) \leqslant\left|f_{1}(b)-f_{1}(a)\right|+\left|f_{2}(b)-f_{2}(a)\right|<+\infty\) ，即 \(g\) 在 \([a, b]\) 上具有有界变差。
从 \(t=0\) 开始
\(g\) 是 \([0,+\infty)\) 上的函数， \(g(0)=0\) 。若对 \(\forall t\) ， \(g(\cdot)\) 在 \([0, t]\) 上具有有界变差，则称 \(g\) 为 \((0,+\infty)\) 上的有界变差函数，并定义：
\[V_{g}(t):=V_{g}([0, t])
\]
性质：
- \(V_g(t)\) 关于 \(t\) 单调上升；
- \(V_g(t) \geqslant|g(t)|\)；
- 对 \(0 \leqslant a<b\) ， $ V_g([a, b])=V g(b)-V_g(a) \geqslant|g(b)-g(a)|$。
定理： \(g\) 是 \([0,+\infty)\) 上的有界变差函数 \(\Longleftrightarrow\) 存在单调上升函数 \(f_{1}, f_{2}\) 使 \(g=f_{1}-f_{2}\)。
证明: \(\Leftarrow\) 已证, 下证 \(\Rightarrow\) ，只需要取\(f_{1}(t):=V_{g}(t), f_{2}(t):=V_{g}(t)-g(t)\)即可。
如果要从勒贝格可积 \(\rightarrow\) 黎曼可积，需要 \(g(\cdot)\) 是有界变差。此时：
\[\int_{0}^{t} f(u) d g(u)=\int_{0}^{t} f(u) d f_{1}(u)-\int_{0}^{t} f(u) d f_{2}(u)
\]
几乎对所有的 \(\omega: N(t,\omega)\) 在 \((\omega,+\infty)\) 上不是有界变差函数。
二次变差的定义
\(g\) 是 \([a, b]\) 上函数， \(\pi\) 为 \(a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b_{0}\) 。 \(g(\cdot)\) 在分划下的二次变差为：
\[Q_{g, \pi}([a, b]):=\sum_{t=0}^{n-1}\left|g\left(t_{i+1}\right)-g\left(t_{i}\right)\right|^{2}
\]
如果 $\lim_{|\pi| \rightarrow 0} Q_{g, \pi}([a, b]) $ 存在，称 \(g\) 在 \([a, b]\) 上具有二次变差。记：
\[Q_{g}\left([a, b]\right):=\lim _{|\pi| \rightarrow 0} Q_{g, \pi}([a, b])
\]
二次变差的性质
定理：若 \(g\) 在 \([a, b]\) 上连续且是有界变差，则 \(g\) 在 \([a, b]\)上具有二次变差，且 \(Q g([a, b ])=0\) 。
证明：
\[\begin{aligned}
& Q_{g, \pi}([a, b])=\sum_{i=0}^{n-1}\left|g\left(t_{i+1}\right)-g(t_i)\right|^{2}\leqslant\left(\max _{i}\left|g\left(t_{i+1}\right)-g\left(t_{i}\right)\right|\right) V_{g, \pi}([a, b]) \\
& \therefore \lim _{|\pi| \rightarrow 0} Q_{g, \pi}([a, b]) \leqslant \lim _{|\pi| \rightarrow 0}\left(\max _{i}\left|g\left(t_{i+1}\right)-g\left(t_{i}\right)\right| V_{g}([a, b])\right)=0
\end{aligned}
\]
为什么无法按轨道积分？
记 \(W\) 在 \([0, t]\) 上关于分划 \(\pi: 0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=t\) 的二次变差为 \(Q_{\pi}\)。
\[\begin{aligned}
& Q_{\pi}:=\sum_{i=0}^{n-1}\left|W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right|^{2} \\
& E\left[\left(Q_{\pi}-t\right)^{2}\right]=E\left[\left(\sum_{i=0}^{n-1}\left|W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right|^{2}-\left(t_{i+1}-t_{i}\right)\right)^{2}\right] \\
= & \sum_{i=0}^{n-1} E\left[\left(\left|W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right|^{2}-\left(t_{i+1}-t_{i}\right)\right)^{2}\right] \\
= & \sum_{i=0}^{n-1} E\left[\left(\left(W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right)^{2}-\left(t_{i+1}-t_{i}\right)\right)^{2}\right]\\
=&\sum_{i=0}^{n-1} E\left[\left(W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right)^{4}-2\left(t_{i+1}-t\right)\left(W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)^{2}\right)+\left(t_{i+1}-t_{i}\right)^{2}\right] \\
=&\sum_{i=0}^{n-1}\left(3\left(t_{i+1}-t_{i}\right)^{2}-2\left(t_{i+1}-t_{i}\right)^{2}+\left(t_{i+1}-t_{i}\right)^{2}\right) \\
=&2 \sum_{i=0}^{n-1}\left(t_{i+1}-t_{i}\right)^{2} \leq 2|\pi| t
\end{aligned}
\]
因此，\(\lim _{|\pi| \rightarrow 0} E\left[\left(Q_{\pi}-t\right)^{2}\right]=0\) ， 则 \(\lim _{|\pi| \rightarrow 0} Q_{\pi}=t\)。那么几乎对 \(\forall \omega, W(t, \omega)\) 在 \([0, t]\) 的二次变差为正。
则 \(W(t, \omega)\) 不是有界变差函数， \(\int_{0}^{t} S(u) d W(u)\) 不能按轨道定义。
历史上解决这个积分的问题大概经过了：Levy \(\rightarrow\) Kolmogorov \(\longrightarrow\) 伊藤积分 \(\longrightarrow\) 伊藤引理 的过程。
补充的一些知识点
波动率的计算
波动率的计算为什么是 \(\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{S_{t_{i+1}}-S_{t_{i}}}{S_{t_{i}}}\right)^{2} \approx \sigma^{2} T\)？
在\(t_{i+1}\) 和 \(t_i\) 挨得很近的时候，等价于\(\sum_{i=0}^{n-1}\left(\ln \frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t i}}\right)^{2} \approx \sigma^{2} T\)。利用BS公式：
\[\ln S_{t_{i+1}} / S_{t_{i}}=\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\left(t_{i+1}-t_{i}\right)+\sigma\left(W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right)
\]
平方后，变成三项，分别分析：
\[\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{n-1}\left(\ln \left(s t_{i+1} / s_{i}\right)\right)^{2}=&\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)^{2} \sum_{i=0}^{n-1}\left(t_{i+1}-t_{i}\right)^{2} \rightarrow 0 \\
& +\sigma^{2} \sum_{i=0}^{n-1}\left(W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right)^{2} \rightarrow \sigma^{2} T \\
& +2(\cdots)(\cdots) \sum_{t=0}^{n-1}\left(t_{i+1}-t_{i}\right)\left(W\left(t_{i+1}\right)-W\left(t_{i}\right)\right) \rightarrow 0
\end{aligned}
\]
标准布朗运动的条件期望:
对\(0 \leqslant s<t\)：
\[E[f(W(t)) \mid W(u), 0 \leqslant u \leqslant s] \stackrel{\text { Markov性 }}{=} E[f(W(t)) \mid W(s)] =g(W(s))
\]
其中：
\[g(u)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi(t-s)}} \int_\mathbb{R} f(x) e^{-\frac{(x-u)^{2}}{2(t-s)}} d x
\]
独立的布朗运动
独立定义：若\(\forall s<t,W_{1}(t)-W_{1}(s)\) 和 \(W_{2}(t)-W_{2}(s)\) 独立；\(\forall t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}, S_{1}<S_{2}<\cdots<S_{n},\left(W_{1}\left(t_{1}\right), \cdots W_{1}\left(t_{n}\right)\right)\) 与 \(\left(W_{2}\left(S_{1}\right), \ldots, W_{2}\left(s_{n}\right)\right)\) 独立，称\(\left\{W_{1}(t)\right\}_{t \geqslant 0},\left\{W_{2}(t)\right\}_{t \geqslant 0}\) 是两个独立的布朗运动。
相关系数定义：\(\left\{B_{1}(t)\right\}\) ， \(\left\{B_{2}(t)\right\}\) 是标准布朗运动，若其相关系数为 \(\rho\) ，则
\[\left(B_{1}(t)-B_{1}(s), B_{2}(t)-B_{2}(s)\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}t-s & \rho(t-s) \\ \rho(t-s) & t-s\end{array}\right)\right)
\]
如果用于计算，使用下面的形式更方便，也就是分解成有关和无关的两部分。
\[\begin{aligned}
& B_{1}(t)=W_{1}(t)\\
& B_{2}(t)=\rho W_{1}(t)+\sqrt{1-\rho^{2}} W_{2}(t)
\end{aligned}
\]
其中 \(\left\{W_{1}(t)\right\} 、\left\{W_{2}(t)\right\}\) 为独立的布朗运动。
镜像原理
\(\{W(t)\}\) 为标准布朗运动，令 \(M(t):=\max _{0 \leqslant u \leqslant t} W(u)\)，给定\(t\)，求
-
\(M(t)\) 的分布
-
\((M(t), W(t))\) 的联合分布
对 \(m \geqslant 0\) ，有 \(\{M(t) \geqslant m\}=\left\{t_{m} \leqslant t\right\}\)，其中 \(t_{m}:=\inf \{t>0, W(t)=m\}\)
镜像原理：对 \(m \geqslant 0 ， W \leqslant m\) ，有：
\[P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \leqslant w\right)=P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \geqslant 2 m-w\right)
\]
这其实就对应布朗运动的强马氏性。
- \(M(t)\) 的分布：\(P(M(t) \geqslant m)=2 \Phi\left(\frac{m}{\sqrt{t}}\right)-1\)
\[\begin{aligned}
& P(M(t) \geqslant m)=P\left(\tau_{m} \leqslant t\right) \\
= & P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \leqslant m\right)+P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \geqslant m\right) \\
= & 2 P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \geqslant m\right) \\
= & 2 P\left(\frac{W(t)}{\sqrt{t}} \geqslant \frac{m}{\sqrt{t}}\right)=2\left(1-\Phi\left(\frac{m}{\sqrt{t}}\right)\right) \\
\Rightarrow & P(M(t) \leqslant m)=1-P(M(t) \geqslant m)=2 \Phi\left(\frac{m}{\sqrt{t}}\right)-1
\end{aligned}
\]
- \((M(t), W(t))\) 的联合分布：\(f_{M W}(m, w)\)对 \((m, w) ，\) 其中 \(m \geqslant 0,w \leqslant m\) 。
\[\begin{aligned}
& P(M(t) \geqslant m, W(t) \leqslant w) \\
= & P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \leqslant w\right) \\
= & P\left(\tau_{m} \leqslant t, W(t) \geqslant 2 m-w\right) \\
= & P(W(t) \geqslant 2 m-w)
\end{aligned}
\]
而：
\[f_{M W}(m, w)=\left\{\begin{aligned}
&\frac{2(2 m-w)}{t \sqrt{2 \pi t}} e^{-\frac{(2 m-w)^{2}}{2 t}} &&,m \geqslant 0, w \leqslant m \\
& 0 &&,\text {其它}
\end{aligned}\right.
\]
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