2025秋《计算理论》复习

PPT1~8：正则语言

作业一：（24分）

Q1-1. 构造带输出的有限状态机（PPT1-2. FSM with no output）【M =(S, I, O, f, g, s0) 】

Q1-2. 说明DFA接受的语言（PPT2. DFA）【区分“正则表达式”与“正则表达式描述的语言”】

※Q1-3. 设计DFA（PPT2. DFA）

※Q1-4. 把NFA转换为等价的DFA（PPT3. NFA）

Q1-5. 设计正则表达式（PPT5. 正则表达式）【∅，ε，α通过并（+），连接，星号以及括号连接】

※【把正则表达式转换为NFA？把DFA/NFA转换为正则表达式？】（PPT5）

Q1-6. 将NFA（DFA、正则表达式）转换为右线性文法（PPT6. 正则文法）【将右线性文法转换为NFA?】

没提到的：

PPT4. 正则运算的性质，正则语言在交、并、补、星号、反转、连接运算下封闭。

PPT6. 文法【G=(V, T, S, P)】，线性文法，正则文法（左线性文法和右线性文法）

作业二：（16分）

Q2-1. 设计DFA并证明其满足正则语言泵引理。（PPT7/PPT8. 正则语言的泵引理）

※Q2-2. 证明下述语言不是正则语言（使用正则语言泵引理）

PPT9~16：上下文无关文法

※Q2-3. 设计上下文无关文法，给定字符串写出派生树，分析二义性（两个不同的最左派生/派生树）（PPT9. CFG），转化为乔姆斯基范式（CNF，A→BC or A→a，ε规则，单一规则，[无用变元可选，]新变元替换多余终结符，多变元变为两变元）（PPT10. CFG范式）

【转化为最简式，如何去除无用变元？（1.15看）】【转化为格雷巴赫范式，新变元替换多余终结符】

作业三：（10分）

※Q3-1/Q3-2. 构造NPDA（PPT11. PDA）

【把上下文无关语言转化为PDA，把PDA转换为上下文无关语言，1.15】

Q3-3. 构造DPDA【证明{anbn}∪{anb(2n)}是CFA但不是DCFA，1.15】（严格与不严格的DPDA定义？思考题：证明{ww^R}不能被DPDA识别，1.15）

作业四：（18分）

※Q4-1/4-2. 证明满足上下文无关语言泵引理以及利用泵引理证明不是上下文无关语言（PPT14/15. CFL的泵引理）

没提到的：

（PPT14. CFL的性质：上下文无关语言在并、连接、星号运算下封闭，在交、补运算下不封闭，上下文无关语言和正则语言的并集是上下文无关语言，结合德摩根律应用：【证明某个语言是上下文无关语言，1.15！】）

问：如何证明一个语言是上下文无关语言？①构造上下文无关文法生成该语言，②已知上下文无关语言与已知正则语言的并集是上下文无关语言。

问：如何证明一个语言不是上下文无关语言？①反证法，假设满足上下文无关语言的泵引理推出矛盾。

PPT17~19：丘奇-图灵论题

※Q4-3/Q5-1. 构造图灵机（PPT18/19. 图灵机）

没提到的：

PPT19. 通用图灵机，可数集合，不可数集合，无限可数集合的幂集是不可数集合，图灵机接受的语言是可数集合，存在语言是图灵不可接受的。

PPT20~21：可判定性

作业五：（8分）

Q5-2/Q5-3. 证明可判定性

（判定器；图灵可判定的性质：L可判定则L的补集可判定；DFA相关的A_DFA, EMPTY_DFA, FINITE_DFA, EQUAL_DFA都是可判定的，A_TM, HALT_TM都是图灵可接受且不可判定的）

证明可判定性（提出算法）：模拟，转化（归约），遍历，构造。

证明不可判定性：①归约法；②悖论法。

PPT22：可归约性（2:00-9:30）

作业六：（20分）

Q6-1. 证明不可判定性

（由A_TM, HALT_TM归约不可判定：STATE_TM, BLANK_TM, EMPTY_TM, REGULAR_TM, SIZE2_TM, EQUAL_TM）

PPT23~27：时间复杂性（9:30-12:30）

Q6-2. 分析时间复杂度

※Q6-3. 证明NP-完全

判断题再示例：

若语言 𝐿 满足正则语言的泵引理，则 𝐿 一定是正则语言。( 错 )

两个上下文无关语言的交集一定是上下文无关语言。( 错 )

如果一个文法是二义性的 (Ambiguous)，那么它生成的语言一定也是二义性的。( 错 )

具有两个栈的下推自动机 (PDA) 计算能力等价于图灵机。( 对 )

图灵机如果只允许向右移动读写头，其计算能力等价于有限自动机 (DFA)。( 对 )

任何图灵可识别语言 (Turing-Recognizable) 的补集也是图灵可识别的。( 错 )

对角化语言 𝐿𝐷 (Diagonal Language) 既不是图灵可识别的，也不是图灵可判定的。( 对 )

语言 {𝑎𝑛𝑏𝑛𝑐^𝑛∣𝑛≥0}的补集是上下文无关语言。( 对 )

CLIQUE（团问题）是 NP 完全的，其补问题也是 NP 完全的。( 错 )

存在某种算法可以压缩所有字符串。( 错 )

两个图灵机 𝑀1,𝑀2，判断 𝐿(𝑀1)⊆𝐿(𝑀2) 是可判定的。( 错 )

作业共18道：

  1. 带输出的FSM
  2. DFA接受的语言
  3. 设计DFA
  4. 正则语言泵引理
  5. 正则语言泵引理【看】
  6. 上下文无关文法
  7. 设计NPDA
  8. 设计NPDA
  9. 设计DPDA
  10. 上下文无关语言泵引理
  11. 上下文无关语言泵引理【看】
  12. 设计图灵机
  13. 设计图灵机
  14. 证明可判定性【看】
  15. 证明可判定性【看】
  16. 证明不可判定性【看】
  17. 分析时间复杂度【看】
  18. 证明NP-完全【看】

posted on 2026-01-15 02:51  汐寻  阅读(2)  评论(0)    收藏  举报