Leetcode309-Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown图文详解

网上关于本题的解读，或是状态机，或是动态规划，但是大多都只是把公式列出来，很抽象，很少回答为什么该解法能求出最终解，本人花了些功夫分析了本题的本质，结合网上各路博客的解读，画了些图以帮助大家理解。

一，状态转换

首先，对于任意i天开始（注意是第i天开始，第i天的操作还没发生）的时候，有三种可能的状态：

S0，手中没有股票，可以买；S1，手中有股票，可以卖；S2，手中没有股票，也不能买，即昨天刚卖，今天cooldown；

在这三种状态下，分别可以执行买卖等操作，即第i天的操作之后，到达第i+1天的状态，转换图如下：

 

由此，我们从第1天（下标为0）开始，画出全部的状态转换图，如下：

 

该图中，每一条从0到n的路径表示一种可能的交易方式，则该状态转换图包含了全部可能的交易方式。这就是解空间，有了它我们才能想办法在其中求一个最大值，接下来就是动态规划的内容了。

二，动态规划

上一段中的状态好理解，但是在程序中如何表示和实现呢？尤其是，如何由这些状态得出最终我们想要的最大收益值呢？

按照暴力的解法思考，上面已经表示出了所有的路径，到第i天的不同状态有多种路径，每种路径最终的导致的收益都不一样。现在我们只存储到第i天的不同状态的所有路径中的最大的收益值，那么就来到了很多解法都提到的3个状态数组，我们对应于3种状态先设下3个数组，每个数组第i项存储的是：到第i天开始时候，如果是该状态，此时最大收益（注意此时第i天的操作依然没发生，所以最后的最大值还要考虑该天的操作，先按下不表）。这个最大值的求法就是我们熟悉的动态规划了。如下图：

假设我们已经求出了第i天的3种状态下的最大收益值，即三个数组中的第i项。第i+1天的最大值，只由第i天的值决定，即是如下三个公式：

s0[i+1] = max(s0[i], s2[i]);

s1[i+1] = max(s0[i] - prices[i], s1[i]);

s2[i+1] = s1[i] + prices[i];

这里可以先缓一缓，思考一下这里第i+1项是否只由第i项决定，因为这是该题能用动态规划求解的基础。动态规划的定义是，原问题可以转化为一个或多个更小的问题来接。在本题中，第i+1天的最大值，无论它是从哪条路径过来的，都要经过第i天的3中状态之一。假如第i+1天的最大值，不对应于第i天的最大值之一，那么它就不是最大值，因为我们能从第i天的最大值中求出一个更大的i+1天的值。如此则动态规划成立。

接下来的事就好办了，按照公式递推，就能求得最终第i天开始时的最大值。其中开始的几天可以按照边界条件来处理，也可以虚构一些第1天之前的值，使转换图完美循环（我是不太喜欢这种做法），最后，数组存储的是最后一天开始时候的值，最后一天还可能有操作，如下图：

 

最后一天应该不会买，只会卖了，比较，取最大值就行了。

max(max(s0[len-1], s2[len-1]), s1[len-1] + prices[len-1]);//len就是数组长度，就是天数

附上AC代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if(len == 0 || len == 1)
            return 0;
        if(len == 2)
            return prices[1] > prices[0] ? prices[1] - prices[0] : 0;
        
        vector<int> s0(len);
        vector<int> s1(len);
        vector<int> s2(len);
        s0[2] = 0;
        s1[2] = max(-prices[1], -prices[0]);
        s2[2] = prices[1] - prices[0];
        for(int i = 3; i < len; i++)
        {
            s0[i] = max(s0[i-1], s2[i-1]);
            s1[i] = max(s0[i-1] - prices[i-1], s1[i-1]);
            s2[i] = s1[i-1] + prices[i - 1];
        }
        return max(max(s0[len-1], s2[len-1]), s1[len-1] + prices[len-1]);
    }
};

 

网上还有很多优化方法，比如转为两个状态的，以及取消数组的，我是懒得想了，把问题弄清楚最重要。