并查集

普通并查集

管理元素所属集合的树形数据结构，实现为一棵森林，每一颗树都是一个集合，每个结点的元素指向其父节点。

并查集支持两种基本操作：
合并：合并两个元素所属集合（合并对应的树），把一个根结点连在另一个根结点下。
查找：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这样可以判断两个元素是否属于同一集合。

在进行查找操作时可以对其进行路径压缩优化，在把每个结点都直接连在其根节点上，这样既缩短了下次查找的时间，又防止合并的树的高度过高。

注意，并查集只能删除或移动叶子结点或以某结点为根结点的子树，不能删除或移动除了叶子结点的单个结点。这是因为并查集的每个结点的元素都指向其父结点，无法知道其子结点。

struct DSU {
    vector<int> p, siz;
    
    DSU(int n) : p(n), siz(n, 1) {iota(p.begin(), p.end(), 0);}
   	 
    int find(int x) {
    	while(x = p[x]) x = p[x] = p[p[x]];
	}
    
    bool merge(int x, int y) {
        x = find(x);
        y = find(y);
        if(x == y) return false;
        siz[x] += siz[y];
        p[y] = x;
        return true;
    }
    
    bool same(int x, int y) {return find(x) == find(y);}
    
    int size(int x) {return siz[find(x)];}
};

加权并查集

每个结点还表示该结点与其根结点的权值（关系），要分别推出查找和合并时结点与父结点权值的关系式。

对于一个集合中的任意两个结点，它们之间的权值（关系）为低结点减去高结点（注意不能取绝对值）。

扩展域并查集

所有元素之间总共有几种关系，就有几个扩展域。例如，两个元素\(x\)和\(y\)，如果\(x\)和\(y\)在同一集合中，那么它们属于关系1；如果\(x\)和\(y'\)在同一集合中，那么它们属于关系2，依此类推。

要注意，在扩展域并查集合并的时候要不止合并一次。例如，两个元素\(x\)和\(y\)，如果\(x\)和\(y\)是关系1，那么要合并\(x\)和\(y\)，\(x'\)和\(y'\)等；如果\(x\)和\(y\)是关系2，那么要合并\(x\)和\(y’\)，\(x'\)和\(y''\)等，以此类推。